基础数学-代数

代数等式

\(a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)

\(a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\)

\(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)

复数运算

\(|x+y i|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\(|z|=|\bar{z}|\)

\(z+\bar{z}=2 a(\) 实数 \(), \quad z-\bar{z}=2 b i\)

\(z \cdot \bar{z}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}(\) 实数 \()\)

\(\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\)

\(\overline{z_{1}-z_{2}}=\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}\)

\(\overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\bar{z}_{1} \cdot \bar{z}_{2}\)

\(\overline{z_{1} / z_{2}}=\bar{z}_{1} / \bar{z}_{2}\left(z_{2} \neq 0\right)\)

代数不等式

基本不等式（均值不等式）

\(\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b} \quad(a>0, b>0)\)，当且仅当\(a=b\)取等号。

或\(a+b \geq 2 \sqrt{a b},(a>0, b>0)\)

基本不等式变形

\(a+b \geq 2 \sqrt{a b}\) ，当且仅当\(a=b\)取等号。

\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2\)，其中a, b同号。

\(a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \quad(a, b \in R)\)

\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}(a, b \in R)\)

代数算法

长除法

长除法俗称「长除」，适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。

它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

步骤：

1）被除数与除数按同一字母的降幂排列，缺陷用零补齐； [1]

2）用竖式进行运算；

3）当余式次数低于除式次数时，运算终止，得到商式和余式。