概率论与数理统计-概率论-随机事件与概率
概率论与数理统计-随机事件与概率
基本概念
现象
现象是事物表现出来的,能被人感觉到的一切情况。现象是人能够看到、听到、闻到、触摸到的。
按照是否有自然属性来分,现象可分为自然现象和社会现象。 按照现象的结果是否唯一来分,现象可分为确定性现象和随机现象。
概率统计研究的主要目标是随机现象,即现象的结果有多种可能,且事先无法准确预测将会发生哪种结果。
随机试验
对随机现象进行一次观察,称为一次随机试验(试验)
概率论中将满足下面三个条件的试验称为随机试验,简称试验:
- 可在相同的条件下重复进行;
- 每次试验的结果不止一个
- 试验之前不能确定哪一个结果会发生,但所有的结果是明确可知的
样本点
随机试验中每一个可能发生的结果(现象观察到的结果),称为一个样本点。一般记作
样本空间
随机试验中所有可能发生的结果,即所有的样本点,称为样本空间。一般记作
随机事件
样本空间的任意子集,都称为随机事件(事件)。
特殊事件(不可能事件与必然事件)
不可能事件:不含样本点的事件(不含任何元素),称为不可能事件。用集合的语言描述为空集
必然事件:包含样本空间所有样本点的事件(包含所有可能的结果,因此该事件一定会发生),称为必然事件。用集合的语言描述为样本空间全集
事件的发生
若事件A中的某个样本点在随机试验中出现(某个样本点被观测到),称为事件A发生。 即事件A中某个样本点被观测到
事件的关系与运算
经常要用简单事件表示一些复杂事件(尤其是研究概率的过程中)。 因此需要讨论使事件的关系与运算。
这里的事件用集合来表示,所以实际上是集合的关系与运算。
包含关系
定义:A发生导致B发生,称:B包含A,或称A被B包含.记

(定义,称,记,集合论,图)
相等关系A=B
互斥关系
在试验中,事件A与B不能同时发生,即
设
对立关系
每次事件中,“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件或者逆事件。记为
性质:
由定义可知:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
事件的和
事件的和,也称事件的并,记作
性质:
事件的差
A-B表示事件A发生而事件B不发生
性质:
事件的积(交)AB
性质:
事件的运算律
与集合的运算律相似
交换律:
结合律:
分配律:
摩根律:
减法满足:
增补性质:
事件的概率
概率的定义
前面讨论了随机事件的概念与性质,自然地,人们关心随机事件发生的可能性。
频率
在一定条件下试验进行n次,若事件A发生
概率的定义(统计定义)
对于随机现象,当试验次数n增大时,事件A的频率总逐渐趋近于一个确定的常数(大数定理将给出更严格的解释),我们就用这个常数来反映事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为事件A发生的概率,记为
概率的这个通俗定义,即为概率的统计定义。
概率统计定义的作用:人们往往用n较大时事件A的频率
概率的定义(公理化定义)
设随机试验E的样本空间为
- 非负性:对于任意事件A,
; - 规范性:对于必然事件
, ; - 可列可加性:设
为两两互不相容的事件,即 ,则
即将满足以上三种属性的集函数,定义为随机事件的概率。
概率的性质
不可能事件的概率
必然事件的概率
对立事件的概率
一般事件,概率的减法:
包含事件,概率的减法:
若事件A,B满足
一般事件,概率的加法:
有限个两两互斥事件,概率的加法:
若事件
古典概率模型与几何概率模型
古典概率模型
古典概率模型是一种最简单的概率模型,是具有如下特征的概率模型: 1.试验的样本空间
在古典概率模型中,设样本空间
抽样问题和抽奖问题
从一堆物品中,连续抽取k次,每次抽取的结果不放回去,这种抽取方式称为无放回抽样。 从一堆物品中,每次抽取一个,观察后放回,重复进行k次,这种抽取方式称为有放回抽样。
无放回抽样(抽奖)的公平性:彩票盒中n张彩票,k张有奖,n个人依次抽取一张(不放回),每个人中奖概率都是
证明:
每个人依次抽取一张,有
种取法; 考虑第j个人中奖的取法数: 在第j个位置安排一张中奖彩票,有k种取法, 剩下的
张彩票在余下位置作全排列,有 种取法, 则第j人中奖的取法数有 种 则第j个人中奖的概率为
盒子装球问题
将n个球随机放入N个盒子中(
证明
每个球都可以放入N个盒子中的任意一个盒子,共
种放法,且每种放法是等可能的。 每个盒子至多有一个球有
种放法。 则每个盒子中至多有一个球的概率为
实际应用:n个人生日各不相同的概率(对应于n个球放入N=365个盒子中,要求每个盒子至多装一个球的问题)
几何概率模型
几何概率模型是具有如下两个特征的概率模型: 1.随即现象的样本空间
不难得到
约会问题
约会问题是几何概率模型的一个例子
条件概率
条件概率的定义
设A,B是两个事件,且
概率的乘法
由条件概率的定义,可知:
全概率公式
定义:设样本空间为
证明: 事件
构成一个完备事件组,则 由 两两互斥,根据概率的加法与乘法,
很多场合下,直接计算某事件B的概率不容易,而在各个不同条件下
贝叶斯公式
与全概率公式相反,贝叶斯公式常用于根据观察到的结果来推断各种原因(或途径)发生的可能性的大小。即用来求某事件B发生的条件下,
定义::设样本空间为
实际上,可以从概率的乘法公式以及全概率公式出发,来以及贝叶斯公式:
事件的独立性
前面讨论了条件概率
两事件相互独立的定义
定义:设A,B是两个事件,若有等式
两事件相互独立的性质
若事件A与B独立,则A与
证明:
A与B独立,即有
显然,若四对事件A与B,A与
多事件两两独立
一般的,设
多事件相互独立
设
则称
注意:前三个等式表示3个事件两两独立,说明三个事件相互独立比两两独立要强。
对于n个事件
n个相互独立事件的并
设n个事件
n个相互对立事件,分成两组,分别作集合运算,运算结果保持独立
设n个事件
独立试验序列
把某试验独立重复的进行n次。 在每次试验中,只关心事件A发生与否,并设每次试验中A发生的概率均为
n重伯努利试验中,我们关心的事件A可能发生的次数为
容易验证: