线性代数总结
线性代数总结
根据同济线性代数第一版的序言，线性代数本是高等数学第13章，后来提出来单独成书。
线性代数分为6块内容：行列式、矩阵、向量与向量空间、方程组、特征值、二次型。 概念互相渗透，联系紧密。
行列式、矩阵、向量、方程组联系尤为紧密。 向量是研究方程组的解的过程中，提炼抽象出来的。（并提出了向量的相关无关、向量的秩、矩阵的秩的概念） 行列式和矩阵式求解方程组的过程中，提炼的工具。（消元的过程中，无法避免\(ad-bc\)的形式，将其定义为二阶行列式；系数与未知数的相乘并相加，系数提出来更简洁，就成了系数矩阵） 矩阵按列分块，就变成了向量。（解方程组的问题就变成了各列向量能否线性表示b的问题）
二次型的几何意义：空间解析几何的二次曲面。
线性代数的难点和重点：
| 两难一重 | ||
|---|---|---|
| 重点一 | 方程组 | 有无解？有几个解？如何求解以及参数处理 |
| 重点二 | 特征值、特征向量 | \(A\alpha = \lambda \alpha\)，矩阵相似，对角阵相似。综合性强 |
| 难点 | 向量 | 线性表示、相关无关、秩 |
线性代数的特点： 1）概念多，定理多，运算法则多，符号多（易混淆） 2）内容上纵横交错，知识前后联系紧密（需要编织知识网络，重视一题多解）（解法灵活多变） 3）逻辑推理要求高（尤其是证明）
向量
概念,运算
线性表示
问\(\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_n\) 能否线性表示\(\beta\),等于问一个非齐次方程组\((\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_n)X=\beta\) 有解没解的问题.
线性相关与无关
线性相关与无关定义
设\(\alpha_1, \alpha_2, ... ,\alpha_n\) 为一组n维向量，如果存在一组不全为0的数\(k_1, k_2, ... , k_s\)，使得\(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_s \alpha_s = 0\) 成立，称向量组\(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_s\) 线性相关； 如果上述等式仅当\(k_1 = k_2 = ... = k_s = 0\) 时成立，则称向量组\(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_s\) 线性无关
注意这里（n和s的区别）
问\(\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_n\) 是否线性相关,等于问一个齐次方程组\((\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_n)X=0\) 有解没解(是否只有0解)的问题.
n维向量的向量组 \(\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots \alpha_{m}\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) \(\exists\) 不全为0的 \(k_{1} k_{2} \cdots k_{m}\) , s.t. \(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_m \alpha_m = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\exists\) 不全为0的 \(k_{1} k_{2} \cdots k_{m}\) , s.t. \(\left[\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{m}\right]\left[\begin{array}{l}{k_{1}} \\ {k_{2}} \\ {k_{m}}\end{array}\right]=0\) \(\leftrightarrow\) \(\left[\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{m}\right]\left[\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{m}}\end{array}\right]=0\) 存在非0解 \(\Leftrightarrow\) \(r\left(\alpha_{1} \alpha_{2} \cdots \alpha_{m}\right)<m\)
推论
n个n维向量\(\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_n\) 相关 \(\Leftrightarrow\) \(|\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_n|=0\)
n+1个n维向量必线性相关
\(\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_s\) 相关,则\(\alpha_1, \alpha_2 ... \alpha_s ... \alpha_{s+r}\) 必相关
i.e. 方程组有非0解,添加几个未知数之后仍有非0解
低维向量线性无关,那么添加维度(坐标)后的高维向量也无关
e.g.
低维向量线性相关的几何意义
两个三维向量线性相关,表示向量共线(坐标成比例);
三个三维向量线性相关,表示共面(坐标成比例)
秩
极大线性无关组
设\(\alpha_1, \alpha_2, .. \alpha_s\) 是一个n维向量组，如果向量组中有r个向量线性无关，且向量的任意\(r+1\)个向量线性相关，则这r个线性无关的向量称为向量组\(\alpha_1, \alpha_2, .. \alpha_s\) 的极大线性无关组
向量组的秩
向量组\(\alpha_1, \alpha_2, .. \alpha_s\)的极大线性无关组中所含有向量的个数称为此向量组的秩，记作\(r(\alpha_1, \alpha_2, .. \alpha_s)\) 如果一个向量组仅含有零向量，则规定它的秩为0
等价的向量组具有相同的秩
矩阵的秩
矩阵列向量组的秩，或者矩阵行向量组的秩，称为矩阵的秩
矩阵的秩也可以认为是不为0的余子式的最大阶数
矩阵与向量的秩的关联
\(r(A)=A的列秩=A的行秩\)
矩阵等价,秩相等.
向量组等价,秩相等;秩相等,向量组不一定等价.
矩阵秩公式
\(r(A^T)=r(A)\)
\(r(A+B)\le r(A)+r(B)\)
\(r(kA)=r(A)\)
若A可逆,则 \(r(AB)=r(B), r(BA)=r(B)\)
\(r(AA^T)=r(A)\)
设A-mxn, B-nxs, 且\(AB=0\), 则\(r(A)+r(B) \le n\)
\(\left[\begin{matrix} A & O \\ O & B\end{matrix}\right]=r(A)+r(B)\)
定理:经过初等变换,矩阵的秩不变.
向量空间
运算封闭
若从某个非空数集中任选两个元素（同一元素可重复选出），选出的这两个元素通过某种（或几种）运算后的得数仍是该数集中的元素，那么，就说该集合对于这种（或几种）运算是封闭的
向量空间
设S是n维向量的非空集合,且S中向量对于加法和数乘运算是封闭的,则称S构成一向量空间
子空间
基底
若\(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n\) 为向量空间S中的一个线性无关的向量组, 且S中任一向量可由\(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n\) 线性表示, 称\(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n\) 为向量空间中的一个基底
向量空间的维数
向量空间中,基底所含向量的个数,称为此向量空间的维数. 若\(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n\) 为向量空间S的一个基底,则其维数为n, 称为n维向量空间, 记为\(R^n\)
坐标
基变换与坐标变换
内积
设向量:
\(\alpha = \left( \begin{array} { c } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { n } } \end{array} \right) , \boldsymbol { \beta } = \left( \begin{array} { c } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { b _ { n } } \end{array} \right)\)
则\(\alpha\) 与\(\beta\) 内积为:
\(( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \beta } ) = \boldsymbol { \alpha } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \beta } = \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { n } \right) \left[\begin{array}{}{ b _ { 1 } }\\ { \vdots } \\ { b _ { n } } \end{array}\right] = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + \cdots + a _ { n } b _ { n }\)
向量的长度: \(| \boldsymbol { \alpha } | = \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } }\)
内积性质:
\(\begin{array} { l } { ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \beta } ) = ( \boldsymbol { \beta } , \boldsymbol { \alpha } ) } \\ { \boldsymbol { \alpha } = \boldsymbol { 0 } \Leftrightarrow ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \alpha } ) = 0 } \\ { ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \beta } + \boldsymbol { \gamma } ) = ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \beta } ) + ( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \gamma } ) } \end{array}\)
正交
若两向量内积为0,则这两个向量正交 i.e. \(( \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { \beta } ) = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + \cdots + a _ { n } b _ { n } = 0\), 则 \(\alpha\) 与 \(\beta\)正交
施密特正交化方法
设\(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_s\) 为\(R^s\) 中一组线性无关的向量
令:
\(\begin{array} { l } { \beta _ { 1 } = \alpha _ { 1 } } \\ { \beta _ { 2 } = \alpha _ { 2 } - \frac { \left( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } \right) } { \left( \beta _ { 1 } , \beta _ { 1 } \right) } \beta _ { 1 } } \\ { \cdots } \\ { \beta _ { s } = \alpha _ { s } - \frac { \left( \alpha _ { s } , \beta _ { 1 } \right) } { \left( \beta _ { 1 } , \beta _ { 1 } \right) } \beta _ { 1 }\cdots - \frac { \left( \alpha _ { s } , \beta _ { s - 1 } \right) } { \left( \beta _ { s - 1 } , \beta _ { s - 1 } \right) } \beta _ { s - 1 } } \end{array}\)
则 \(\beta_1, \beta_2, ... \beta_s\) 相互正交
规范正交基
设 \(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\) 为\(R^n\) 中一组基(底)
将其(施密特)正交化得 \(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n\)
再将其单位化得\(\boldsymbol { \eta } _ { 1 } = \frac { \boldsymbol { \beta } _ { 1 } } { \left| \boldsymbol { \beta } _ { 1 } \right| }, \eta _ { 2 } = \frac { \beta _ { 2 } } { \left| \beta _ { 2 } \right| } , \cdots , \eta _ { n } = \frac { \beta _ { n } } { \left| \beta _ { n } \right| }\)
则\(\eta_1, \eta_2, ... , \eta_n\) 满足 \((\eta_i, \eta_j)=0, i \neq j ; |\eta_i|=1, i=1,2, ... , n\)
称\(\eta_1, \eta_2, ... , \eta_n\) 为 \(R^n\) 中的一组规范正交基
正交矩阵
定义 设 \(\eta_1, \eta_2, ... , \eta_n\) 为 \(R^n\) 中的一组规范正交基,令\(Q=[\eta_1, \eta_2, ... , \eta_n]\) , 则Q满足\(Q^T Q = Q Q^T = E\) , 称为正交矩阵
如果n阶矩阵A满足\(A^T A = E\)， 即(\(A^{-1} = A^T\)),那么称A为正交矩阵，简称正交阵
方阵A为正交矩阵\(\Leftrightarrow\) A的列向量/行向量都是单位向量，且两两正交
正交矩阵性质:
\(\begin{array} { l } { Q ^ { \mathrm { T } } = Q ^ { - 1 } \quad (Q^T Q=E)} \\ { | Q | = \pm 1 } \end{array}\)
若\(Q_1, Q_2\) 为正交矩阵, 则 \(Q_1, Q_2\)仍为正交矩阵
线性方程组
线性方程组概念
线性方程组同解变形(矩阵行变换)
- 两个方程互换位置
- 非零常数乘到方程的两端
- 某方程的k被加到另一个方程上
齐次方程组\(Ax=0\)
无解,0解(唯一解),非零解
定理 齐次方程组\(A_{m\times n}x=0\) 有非零解 \(\Leftrightarrow\) \(r(A)<n\)
推论 当\(m<n\) 时, \(Ax=0\) 必有非零解 (i.e. 方程组数小于未知数个数)
推论 当m=n时, \(Ax=0\) 有非零解 \(\Leftrightarrow\) \(|A|=0\)
解的性质
if \(\eta\) is solution of \(Ax=0\) , then \(k\eta\) is solution, too.
if \(\eta_1, \eta_2\) is solution of \(Ax=0\), then \(k_1\eta_1 + k_2\eta_2\) is solution, too.
基础解系
齐次方程组的基础解系:方程组解向量的极大线性无关组
i.e.
- \(\eta_1, \eta_2, ... \eta_t\) 是 \(Ax=0\) 的解
- \(\eta_1, \eta_2, ... \eta_t\) 线性无关
- \(Ax=0\) 的任意一个解都可以由 \(\eta_1, \eta_2, ... \eta_t\) 线性表出
齐次方程组解向量的极大线性无关组(基础解系)个数\(n-r(A)\)
定理 如果齐次方程组 \(Ax=b \quad(II)\) 系数矩阵的秩 \(r(A)=r<n\) , 则\(II\) 有 \(n-r\) 个线性无关的解,且 \(II\) 的任意一个解都可以由这\(n-r\) 个线性无关的解(基础解系)线性表出
定理 若 \(\eta_1, \eta_2, \cdot\cdot\cdot \eta_t\) 是齐次方程组 \(II\) 的基础解系,则 \(II\) 的通解是是: \(k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \cdot \cdot \cdot + k_t \eta_t\), \(k_1, k_2, ... , k_t\) 是任意常数
相关无关
在向量组部分介绍过了: 向量的相关无关
非齐次方程组\(Ax=b\)
有解判定: 无解,唯一解, 无穷多解
定理 \(A x=b\) 有解 \(\Leftrightarrow r(A)=r(\overline A)\)
唯一解: \(r(A)=r(\bar{A})=n\)
\(\infty\) 解: \(r(A)=r(\bar{A})<n\)
无解: \(r(A)+1=r(\bar{A})\)
解的形式
解的性质
解的结构
定理 设\(\alpha\) 是方程组\(Ax=b\) 的解, \(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}\) 是导出组\(Ax=0\) 的基础解系,则方程组\(Ax=b\) 的通解为 \(\alpha+k_{1} \eta_{1}+k_{2} \eta_{2} \cdots+k_{t} \eta_{t}\) , 其中 \(k_{1} k_{2} \cdots k_{t}\) 是任意常数
求解非齐次方程组做两件事:非齐次方程组求一个特解,求齐次方程组的基础解系,并用k衔接
公共解,同解
应用
- 相关无关\(\Leftrightarrow\) 齐次方程组 \((\alpha_1, \alpha_2, \cdot\cdot\cdot \alpha_s)x=0\)有非零解
- 线性无关\(\Leftrightarrow\) 非齐次方程组 \((\alpha_1, \alpha_2, \cdot\cdot\cdot \alpha_s)x=\beta\) 有没有解
- \(AP=B\neq P\)
- \(A \alpha = \lambda x\) 求x
特征值与特征向量
定义
\(A \alpha=\lambda \alpha, \alpha \neq 0\), 注意特征向量不为0
说明（标准定义）： 设A是n阶矩阵, \(\alpha\)是n维非0列向量,满足: \(A \alpha=\lambda \alpha\), 则称\(\lambda\)是矩阵A的特征值, \(\alpha\)是矩阵A属于特征值\(\lambda\)的特征向量
性质
\(A \alpha=\lambda \alpha, \alpha \neq 0 \Rightarrow (A+k E) \alpha=(\lambda+k) \alpha\)
\(A \alpha=\lambda \alpha, \alpha \neq 0 \Rightarrow A^{n} \alpha=\lambda^{n} \alpha\)
\(|A|=\prod \lambda\)1
\(A \alpha=\lambda \alpha, \alpha \neq 0 \Rightarrow A^{-1} \alpha=\frac{1}{\lambda} \alpha\)
若A可逆, \(\lambda\) 是A的特征值, 则 \(\frac{|A|}{\lambda}\) 是\(A^*\) 的特征值
性质总结：
设\(\lambda\)是矩阵A的特征值，则矩阵\(kA, A^2, aA+bE, A^m, A^{-1}, A*\) ， 分别有特征值 \(k\lambda, \lambda^2, a\lambda+b, \lambda^m, \frac{1}{\lambda}, \frac{|A|}{\lambda}\)
设\(\alpha\)是A对应\(\lambda\)的特征向量，则\(\alpha\)也是矩阵\(kA, A^2, aA+bE, A^m, A^{-1}, A*\)对应特征值\(k\lambda, \lambda^2, a\lambda+b, \lambda^m, \frac{1}{\lambda}, \frac{|A|}{\lambda}\)的特征向量
求特征值与特征向量
利用定义与性质
利用定义式的变形得行列式求特征值（解行列式=0）
\(\begin{array}{l}{ {\left(\lambda_{i} E-A\right) x=0} \quad (x \neq 0)\\ \Rightarrow | \lambda E-A |=0} \\ \end{array}\)
再分别代入特征值\(\lambda_i\)， 利用定义式的变形求特征向量（解齐次方程组）
\({\left(\lambda_{i} E-A\right) x=0} \quad (x \neq 0)\)
相似矩阵
定义:
\(A \sim B:\) A, B都是n阶方阵, \(\exists\) 可逆\(P, P^{-1} A P=B\) , 称A相似于B
\(A \sim \Lambda\)
矩阵相似的性质:
\(A \sim A\)
\(A \sim B \Rightarrow B \sim A\)
\(A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C\) (e.g. \(A \sim \Lambda, B \sim \Lambda \Rightarrow A \sim B\) 多用来证明)
\(A \sim B \Rightarrow A + kE \sim B + kE\)
proof: \(P ^ { - 1 } ( A + k E ) P = P ^ { - 1 } A P + P ^ { - 1 } k E P = B + k E\)
\(A \sim B \Rightarrow A^n \sim B^n\) proof: \(A \sim B \Rightarrow P^{-1}AP=B \quad (两边平方) \Rightarrow (P^{-1}AP)^2=B^2 \\\), 数学归纳得原式
\(A \sim B \Rightarrow \begin{equation} |\lambda E-A|=|\lambda E-B| \Rightarrow \lambda_{A}=\lambda_{B} \end{equation}\) proof: \(\begin{aligned}|\lambda E-B| &=\left|\lambda E-P^{-1} A P\right| \\ &=\left|P^{-1}(\lambda E-A) P\right| \\ &=\left|P^{-1}\right|\cdot|\lambda E-A|\cdot|P| \\ &=|\lambda E-A| \end{aligned}\)
\(A \sim B \Rightarrow r(A)=r(B)\) proof: \(r(B)=r\left(P^{-1} A P\right) \\ =r(A P) \\ =r(A)\)
\(A \sim B \Rightarrow |A|=|B|\) proof: \(|B|=|P^{-1} A P| = |P^{-1} | \cdot |A| \cdot |P| = |A|\)
\(A \sim B \Rightarrow \sum a_{i i}=\sum b_{i i}\) (迹的和相等)
即：A相似B，{反身，传递，倍加E，n次}仍相似，相似则{特征值，秩，行列式，迹}相等。
性质推广
\(A \sim B \Rightarrow A^{-1} \sim B^{-1}\)
证明：
\(\begin{array}{l}{\left(P^{-1} A P\right)^{-1}=B^{-1}} \\ {P^{-1} A^{-1}\left(P^{-1}\right)^{-1}=B^{-1}} \\ {P^{-1} A^{-1} P=B^{-1}} \\ {\therefore A^{-1} \sim B^{-1}}\end{array}\)
$A B A^T B^T $
证明:
令\(\left(P^{T} \right)^{-1}=P_1\)
则\(P_1^{-1} A^T P_1 = B^T\)\(A \sim B \Rightarrow A^* \sim B^*\)
若\(\mathbf{A} \sim \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} \sim \boldsymbol{D}\)， 则\(\left[\begin{array}{ll}{A} & {0} \\ {0} & {C}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}{B} & {0} \\ {0} & {D}\end{array}\right]\)
若\(\mathbf{A} \sim B\)，则\(f(\boldsymbol{A}) \sim f(\boldsymbol{B}),|f(\boldsymbol{A})|=|f(\boldsymbol{B})|\)，其中\(f(\boldsymbol{A})\)为矩阵
相似对角化
相似对角化\(P^{-1} A P = \Lambda\)的方法
设\(\alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { n }\)为对应于特征值\(\lambda_i(i=1,2,...,n)\)的特征向量 \(\begin{aligned} A \left( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { n } \right) & = \left( A \alpha _ { 1 } , A \alpha _ { 2 } , \cdots , A \alpha _ { n } \right) \\ & = \left( \lambda _ { 1 } \alpha _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \alpha _ { 2 } , \cdots , \lambda _ { n } \alpha _ { n } \right) \\ & =\left[ \boldsymbol { a } _ { 1 } , \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } , \cdots , \boldsymbol { \alpha } _ { n } \right] \left[ \begin{array} { c c c c } { \lambda _ { 1 } } \\ { } & { \lambda _ { 2 } } \\ { } & { } & { \ddots } \\ { } & { } & { } & { \lambda _ { n } } \end{array} \right] \end{aligned}\) 记\(P = \left[ \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { n } \right]\), 记\(\boldsymbol { \Lambda } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \lambda _ { 1 } } \\ { } & { \lambda _ { 2 } } \\ { } & { } & { \ddots } \\ { } & { } & { } & { \lambda _ { n } } \end{array} \right]\)，
则\(P^{-1} A P = \Lambda\)
性质
$A $ A有n个线性无关的特征向量
\(\lambda\)是k重特征值，则 \(\lambda\)有k个无关的特征向量 \(\Leftrightarrow A \sim \Lambda\)
A有n个不同的特征值$ A $
A为对称矩阵 \(\Rightarrow A \sim \Lambda\)
若\(P^{-1} A P = \Lambda\)， 则\(\Lambda\)的主对角线上元素就是A的特征值，P的列向量就是A的特征向量2
相似对角化可以用来求方阵的n次
实对称矩阵
如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（\(a_{ij}=a_{ji}\)）(i,j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵（即\(A^T=A\)且元素为实数的矩阵）
特点
特征值必是实数
必与对角矩阵相似
可用正交矩阵相似对角化3
实对称矩阵用正交矩阵对角化的方法
- 求A的特征值\(\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n\)
- 求特征向量\(\alpha_1, \alpha_2 , ... \alpha_n\)
- 改造特征向量为\(\gamma_1, \gamma_2, ... , \gamma_n\)
- 如\(\lambda_i \neq \lambda_j\)， 只需单位化
- 如\(\lambda_i = \lambda_j\)
- 若\((\alpha_i, \alpha_j) = 0\)， 只需单位化
- 若\(\alpha_i, \alpha_j) \neq 0\)， 施密特正交化，单位化
- 构造正交矩阵\(Q=(\gamma_1, \gamma_2, ... , \gamma_n)\)
- 得\(Q^{-1} A Q = \Lambda = \left[ \begin{array} { c c c c } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \lambda _ { n } } \end{array} \right]\)
二次型
概念、定理
二次型及其矩阵表示
设一个多元函数，其每一项都是二次的，这样的多元函数，称作二次型；任何一个二次型都可以用矩阵的乘法描写出来。
二次型矩阵化
n元二次型
\(f(x_1, x_2,...,x_n) = \Sigma{C_{ii} x_i x_i} + \Sigma{C_{ij} x_i x_j} \\ = [x_1, x_2, ... , x_n] A [x_1, x_2, ... , x_n]^T \\ = x^T A x\) 其中A为一个对称矩阵，有 \(A(i,i) = C_{ii},\\ A(i,j) = A(j,i) = C_{ij}/2\)
函数f的平方项\(C_{ii} x_i x_i\)系数依次填入对称矩阵P的对角线，函数f的混合项\(C_{ij} x_i x_j\)系数除以2，分别填入矩阵A对应位置
这里的矩阵A称为二次型的矩阵
i.e. 一个三元二次型： \(\begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=& x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-6 x_{2} x_{3} \\ &=\left[x_{1} x_{2} x_{3}\right]\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {1} & {5} & {-3} \\ {0} & {-3} & {5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right] \end{aligned}\)
标准型
只有平方项，没有混合项的二次型
则标准型对应的矩阵是个对角矩阵
规范型
平方项系数只能为0，+1，-1的标准型
惯性指数
正惯性指数： 标准型中正的二次项个数
负惯性指数： 标准型中负的二次项个数
二次型的秩
\(r(f)=r(A)\)
坐标变换
以3元坐标为例：
\(\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=c_{11} y_{1}+c_{12} y_{1}+c_{13} y_{3}} \\ {x_{2}=c_{21} y_{1}+c_{22} y_{2}+c_{23} y_{3}} \\ {x_{3}=c_{31} y_{1}+c_{32} y_{2}+c_{33} y_{3}}\end{array} \quad|C| \neq 0\right.\)
\(\left[\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{C_{11}} & {C_{12}} & {C_{13}} \\ {C_{21}} & {C_{22}} & {C_{23}} \\ {C_{31}} & {C_{32}} & {C_{33}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {y_{3}}\end{array}\right]\)
那么通过坐标变换 \(x=Cy\)，把坐标x用矩阵C变换为了y的坐标，这里要求C可逆
对二次型做坐标变换： \(\left\{ \begin{array} { l } { f ( x ) = x ^ { T } A x } \\ { x = C y , | C | \neq 0 } \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \\ \begin{aligned} g ( y ) = f \left( C _ { y } \right) & = \left( C y \right) ^ { T } A \left( C y \right) \\ & = y ^ { T } C ^ { T } A C y \\ & = y ^ { T } B y \end{aligned}\) 其中\(B=C^T A C\)
矩阵合同
由对二次型的坐标变换可知，坐标变换${ x = C y , | C | } \(时， 二次型的矩阵A也变为B，并满足\)B=C^T A C$
定义
如果\(C^{T} A C=B\)， 其中C是可逆矩阵，称矩阵A和B合同，记\(A \simeq B\)
$A B $ $x^T A x $ 与 \(x^T B x\) 正负惯性指数相同
性质
\(A \simeq A\)
如果\(A \simeq B\)， 则\(B \simeq A\)
如果\(A \simeq B, B \simeq C\)，则\(A \simeq C\)
任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵
定理 $x^T A x $ 经坐标变换\(x=Cy\)， 有\(x^T A x = y^T B y\)， 其中\(C^T A C = B\)
即二次型经坐标变换，二次型的矩阵变换为它的合同矩阵
定理 对任意\(x^T A x\)， 都存在坐标变换\(x=Cy\)，使得\(f=y^T \Lambda y\)
即任意二次型都可以找到坐标变换，化为标准型
定理 （惯性定理） 对于一个二次型\(x^T A x\)，经坐标变换化为标准型，其正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的
二次型变换为标准型的方法是不唯一的，即可能化为不同的标准型。但是这些标准型的正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的。
二次型变换为标准型
配方法
正交变换法
- 求特征值\(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n\)
- 求特征向量\(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n\)
- 改造特征向量（正交化，单位化）为\(\gamma_1, \gamma_2, ... , \gamma_n\)
- 特征值不同，特征向量已正交，只需单位化
- 特征值有重根
- 该特征值的多个特征向量正交，只需单位化
- 该特征值的多个特征向量不正交，施密特正交化，并单位化
- 拼称正交矩阵\(Q=(\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_n)\)
- 令\(x=Qy\)， 得\(x^T A x = y^T \Lambda y, \Lambda = \left[ \begin{array} { c c c c } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \lambda _ { n } } \end{array} \right]\)
简证：正交矩阵Q有\(Q^T = Q^{-1}\)的性质，结合相似对角化的证明过程，可知以上正交变换法是正确的
正定二次型
正定二次型定义
\(\forall x = (x_1, x_2, ... , x_n)^T \neq 0\)，恒有\(f(x_1, x_2, ... , x_n) = x^T A x > 0\)， 则称f为正定二次型，A为正定矩阵
性质
合同变换不改变二次型的正定性
\(x^T A x\)正定二次型 \(\Leftrightarrow\) 正惯性指数p=n \(\Leftrightarrow\) \(A \simeq E \quad (i.e. \exists |C| \neq 0, C^T A C = E)\) \(\Leftrightarrow\) A的特征值全大于0 \(\Leftrightarrow\) A的顺序主子式全大于0 \(\Leftrightarrow\) 存在可逆矩阵P，使\(A = P^T P\) \(\Leftrightarrow\) 存在正交矩阵Q，使\(\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{Q}^{-1} \mathrm{AQ}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda_{1}} & {} & {} \\ {} & {\lambda_{2}} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{n}}\end{array}\right], \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)\)
若A为正定矩阵，则\(k \mathbf{A}(k>0), \mathbf{A}^{\mathrm{T}}, \mathbf{A}^{-1}, \mathbf{A}^{*}\)也是正定矩阵4 若A为正定矩阵，则\(|A|>0\)，从而A可逆 若A为正定矩阵，则A的主对角线上元素\(a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, n\)
- \((A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \overset{A \text{正定}}{=} A^{-1}\) 所以\(A^{-1}\)是对称矩阵
- 设\(\lambda\)是\(A^{-1}\)的特征值， \(\alpha\)是对应的特征向量 \(\therefore A^{-1} \alpha = \lambda \alpha\) \(\because\) A正定，其特征孩子全大于0 \(\therefore\) A的特征值\(\frac{1}{\lambda} > 0\) \(\therefore \lambda > 0\) \(\therefore A^{-1}\)正定
易混概念辨析
矩阵等价,合同,相似
矩阵等价 : 对同型矩阵A、B，存在可逆阵P和Q，使得B=PAQ 充要条件：A和B的秩相等 理解: 初等变换(行/列变换), 不改变矩阵的秩,变换前后的矩阵等价
矩阵合同: 对同型方阵A、B，存在可逆阵P, 使得\(B=P^T A P\)
矩阵相似: 对同型方阵A、B，存在可逆阵P, 使得\(B=P^{-1}AP, \quad B=P^{-1}AP\)
三者关系：
等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵 PQ=EPQ=E 的等价矩阵是相似矩阵 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵 正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵 合同矩阵未必是相似矩阵 相似矩阵未必合同 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同
方程组系数矩阵的秩,方程组解的秩
对于齐次方程组: \[ \left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } - x _ { 2 } + 2 x _ { 3 } - 3 x _ { 4 } = 0 } \\ { 2 x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } + 4 x _ { 3 } + 6 x _ { 4 } = 0 } \end{array} \right. \] 其系数矩阵: \[ A=\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {-1} & {2} & {-3} \\ {2} & {-2} & {4} & {6}\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {-1} & {2} & {-3} \\ {0} & {0} & {0} & {12}\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}{1} & {-1} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \]
系数矩阵A的秩:\(r(A)=2\)
方程组系数矩阵A(或者A的列向量)的极大线性无关组: \(\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}{-3} \\ {6}\end{array}\right]\)
方程组极大线性无关组(基础解系)个数，即解的秩: \(n-r(A)=4-2=2\) \(\begin{array}{l}{x_{2}=1, x_{3}=0} \\ \quad \rightarrow {\eta_{1}=(1,1,0,0)^{T}} \\ {x_{2}=0, x_{3}=1} \\ \quad \rightarrow {\eta_{2}=(-2,0,1,0)^{T}}\end{array}\)
方程组解向量的极大线性无关组(基础解系): \(\left[\begin{array}{c}{1} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]\)
秩,极大线性无关组个数,系数矩阵的秩，方程组的基础解系
线性无关(组)：仅当\(k_1 = k_2 = ... = k_s = 0\) 时, 得\(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_s \alpha_s = 0\) 成立，称向量组\(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_s\) 线性无关
极大线性无关组：向量组中有r个向量线性无关，且向量的任意\(r+1\)个向量线性相关，这r个线性无关的向量称为向量组的极大线性无关组
秩： 极大线性无关组中向量的个数
(方程组\(Ax=\beta\)的)系数矩阵：A
(方程组\(Ax=\beta\)的)增广矩阵：\((A|\beta)\)
(方程组\(Ax=\beta\)的)基础解系：方程组解空间的极大线性无关组
(方程组\(Ax=\beta\)的)系数矩阵的秩：\(r(A)\)
(方程组\(Ax=\beta\)的)基础解系的秩：\(n-r(A)\)
行列式同等变形, 矩阵行/列变换, 方程组同解变形
说明
(行/列)倍乘: 非零元素乘以某一行(列)
(行/列)倍加: 非零元素乘以某一行(列),加到另一行(列)上
(行/列)互换: 某一行(列)与另一行(列)位置互换
区别
矩阵行/列变换
不是同等变形(变形前后不是“=”关系)
变换规则:倍乘, 倍加, 互换
有些情况只能行变换 e.g. 增广矩阵变换\((A|\beta) \rightarrow (E|\beta')\), 矩阵求逆\((A|E)\rightarrow (E|A^{-1})\)
行列式同等变形
是同等变形
变形规则: (行/列)倍乘, (行/列)倍加, (行/列)互换(互换位置行列式取反)
方程组同解变形
是同等变形
变形规则: 行倍乘, 行倍加, 行互换
[线性相关]: 线性表示: