线性代数-矩阵1

矩阵

矩阵的概念

矩阵的定义

$m\times n$个数，排成m行n列的表格：(为表示它们是一个整体，总加一个括弧) $\mathit{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$， 称为一个$m\times n$矩阵。简记为A。

实矩阵/复矩阵

元蒙是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

方阵

当$m=n$时，称为n阶矩阵（或n阶方阵）。即行数与列数都等于 $n$ 的矩阵称为n 阶矩阵或 $n$ 阶方阵.

方阵的行列式

设$A=[a_{ij}]$为n阶矩阵，其所有元素构成的行列式称为方阵A的行列式。记为$|A|$。 注1：仅方阵才有行列式 注2：A=0与$|A|=0$不要搞混。

零矩阵

如果一个矩阵的所有元素都是0，称这个矩阵为0矩阵。简记为0.

行矩阵/列矩阵

只有一行的矩阵： $\mathit{A}=(a_1{a}_2\cdots a_n)$ 称为行矩阵（又称行向量）

只有一列的矩阵： $\mathit{B}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$ 称为列矩阵（又称列向量）

同型矩阵

如果A和B都是$m\times n$矩阵，称A和B是同型矩阵。

即，两个矩阵的行数相等、列数也相等时, ,就称它们是同型矩阵

矩阵相等

如果 $A=\left(a_{ij}\right)$与 $\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ 都是$m\times n$矩阵（同型矩阵）， 且对应元素相等，即$a_{ij}=b_{ij}(\mathrm{\forall }i=1,2,...,m,j=1,2,...,n)$， 称矩阵A和B相等，记A=B。

线性变换与系数矩阵关系

$n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 与 $m$ 个变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_m$ 之间的关系式： $\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}$ 表示一个从变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 到变量 $y_1,y_2,\cdots ,y_m$ 的线性变换,其中 $a_{ij}$ 为常数.线性变换的系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $\mathit{A}={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$

给出线性变换，系数矩阵就唯一确定；给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，线性变换也唯一确定；即线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系 .

可以利用矩阵来研究 线性变换,也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

零矩阵

元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作O，注意不同型的零矩阵是不同的。

单位矩阵

主对角线上元素都是1，其余位置都是0的n阶方阵。记作E $\left[\begin{array}{}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ …

n阶单位矩阵：

$\mathit{E}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

对应的线性变换为：

$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1\\ y_2=x_2\\ \cdots \dots \dots \dots \\ y_n=x_n\end{array}$

对角矩阵​

只有主对角线上有非零元素，其余位置都是0的矩阵。记作$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ $\left[\begin{array}{}{a}_1& 0\\ 0& a_2\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{}{a}_1& 0& 0\\ 0& a_2& 0\\ 0& 0& a_3\end{array}\right]$

n阶对角矩阵： $\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

对应的线性变换为：

$\{\begin{array}{l}{y}_1={\lambda }_1{x}_1\\ y_2={\lambda }_2{x}_2\\ \cdots \dots \dots \dots \\ y_n={\lambda }_n{x}_n\end{array}$

对称矩阵

需要先了解矩阵转置的概念。

设 A 为 n 阶方阵,如果满足 $A^{\mathrm{T}}=A$,即$a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n)$ 那么 A 称为对称矩阵,简称对称阵.

对称阵的特点是 : 它的元素以对角线为对称轴对应相等.

共轭矩阵

当 $A=\left(a_{ij}\right)$ 为复矩阵时,用 ${\overline{a}}_{ij}$ 表示 $a_{ij}$ 的共轭复数, 记$\bar{\mathit{A}}=\left({\overline{a}}_{ij}\right)$ $\bar{A}$称为 A 的共轭矩阵.

共轭矩阵的运算律/性质： $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$ $\overline{\lambda A}=\overline{\lambda }\overline{A}$ $\overline{\mathit{A}\mathit{B}}=\overline{\mathit{A}}\overline{\mathit{B}}$

矩阵的迹

矩阵主对角元素之和。即$\mathrm{\Sigma }{a}_{ii}$

矩阵的基本运算

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算。

而矩阵乘法、矩阵的转置不是线性运算。

矩阵加法

$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$，这里要求A与B为同型矩阵。

$\mathit{A}+\mathit{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$

加法性质/运算律

A,B,C为同型矩阵时， 交换律：$A+B=B+A$ 结合律：$A+B+C=A+(B+C)$ $A+0=0+A=A$ $A+(-A)=0$

矩阵数乘

数$ $\mathrm{与}\mathrm{矩}\mathrm{阵}A\mathrm{的}\mathrm{乘}\mathrm{积}：$A = [a_{ij}]$

即： $\lambda \mathit{A}=\mathit{A}\lambda =\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right)$

数乘性质/运算律

$k(mA)=m(kA)=(km)A$ $(k+m)A=kA+mA$ $k(A+B)=kA+kB$ $1A=A,0A=0$

矩阵乘法

设 $\mathit{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是一个 $m\times s$ 矩阵 $,\mathit{B}=\left(b_{ij}\right)$ 是一个 $s\times n$ 矩阵, 那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $C=\left(c_{ij}\right),$ 其中$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$ $(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$ 矩阵的乘积记作$C=AB$

而 $(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{is})\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ b_{2j}\\ ⋮\\ b_{ij}\end{array}\right)=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ij}{b}_{ji}$ $=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}=c_{ij}$ 表明乘积矩阵 $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{C}$ 的( $i,j)$ 元 $c_{ij}$ 就是 $\mathit{A}$ 的第 $i$ 行与 $\mathit{B}$ 的第 $j$ 列的乘积.

注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的 行数时,两个矩阵才能相乘。

从线性变换的角度看，线性变换的系数矩阵作乘积，相当于连续作两次线性变换。

AB 是 A 左乘 $\mathit{B}(\mathit{B}$被 A 左乘)的乘积, BA 是 A 右乘 B 的乘积, AB 有意义时, BA 可以没有意义.矩阵的乘法不满足交换律。 但是若对于两个 n 阶方阵 A，B,若 AB = BA，则称方阵 A 与B是可交换的.

乘法性质/运算律

结合律

$(AB)C=A(BC)=ABC$

$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)($ 其中 $\lambda$ 为数 $)$

分配律

$A(B+C)=AB+AC$ $(A+B)C=AC+BC$

n阶方阵的幂（方幂）

$A\cdot A=A^2$ $A\cdots A=A^k$ (k个A的乘积)

单位矩阵的乘法

$AE=A,EA=A$

单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.

纯量阵的乘法

纯量阵： $\lambda E=\left(\begin{array}{lll}\lambda & & \\ & \lambda & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda \end{array}\right)$

由( $\lambda E)A=\lambda A,A(\lambda E)=\lambda A,$ 可 知纯量阵 $\lambda E$ 与矩阵 $\mathit{A}$ 的乘积等于数$ $\mathrm{与}A\mathrm{的}\mathrm{乘}\mathrm{积}.\mathrm{当}A\mathrm{为}n\mathrm{阶}\mathrm{方}\mathrm{阵}\mathrm{时},\mathrm{有}$({n}) {n}={n}={n}(_{n}),$\mathrm{表}\mathrm{明}\mathrm{纯}\mathrm{量}\mathrm{阵}$E $与任何同阶方阵都是可交换的.

对角矩阵$\mathrm{\Lambda }$的乘法

$\left[\begin{array}{}{a}_1& 0& 0\\ 0& a_2& 0\\ 0& 0& a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{}{b}_1& 0& 0\\ 0& b_2& 0\\ 0& 0& b_3\end{array}\right]$$=\left[\begin{array}{}{a}_1{b}_1& 0& 0\\ 0& a_2{b}_2& 0\\ 0& 0& a_3{c}_3\end{array}\right]$

对角矩阵乘法的交换律

${\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2={\mathrm{\Lambda }}_2{\mathrm{\Lambda }}_1$

对角矩阵的幂

${\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1^n& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2^n& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n^n\end{array}\right]$

${}^n{=}^n=$

矩阵乘法没有交换律

一般的矩阵乘法没有交换律 ： $AB\ne BA$, $(\mathit{A}\mathit{B}{)}^k\ne {\mathit{A}}^k{\mathit{B}}^k$ $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^2\ne {\mathit{A}}^2+2\mathit{A}\mathit{B}+{\mathit{B}}^2$ $(A-B)(A+B)\ne A^2-B^2$

只有在A与B可交换时，才能取等号。

注：$AB=AC,A\ne 0\nRightarrow B=C$

行列向量的乘法

设$\alpha ,\beta$都是n维列向量，则： $\alpha {\beta }^T,\beta {\alpha }^T,\alpha {\alpha }^T$都是$n\times n$的矩阵； ${\alpha }^T\beta ,{\beta }^T\alpha ,{\alpha }^T\alpha$都是数，也可看成$1\times 1$的矩阵。 ${\alpha }^T\beta ,{\beta }^T\alpha ,{\alpha }^T\alpha$分别是$\alpha {\beta }^T,\beta {\alpha }^T,\alpha {\alpha }^T$结果矩阵的迹。（矩阵的迹：主对角元素之和）

矩阵转置

矩阵的转置也是一种运算。

设$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$，将A的行列互换得到的$n\times m$的矩阵$[a_{ji}{]}_{n\times m}$称为A的转置矩阵。记为$A^T$

转置性质/运算律

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$ $(kA{)}^T=k{A}^T$ $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ $(A^T{)}^T=A$

逆矩阵与求逆运算

如果我们想要从$AB=C$中计算B时，该怎么做呢？

这里先提一下逆矩阵的概念：假设对于方阵A，若有方阵$A^{-1} $，\mathrm{使}\mathrm{得}$A^{-1} A = A A^{-1} = E$。\mathrm{则}\mathrm{原}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{可}\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{用}$A^{-1} $\mathrm{左}\mathrm{乘}，\mathrm{即}:$A^{-1} A B = A^{-1} C$，\mathrm{得}\mathrm{到}$B = A^{-1} C$

而其中的逆矩阵$A^{-1}$要怎么求呢？

实际上，可以通过对线性方程组（线性变换）进行逆变换，可以引出逆矩阵$A^{-1}$的概念以及求解步骤。 其中又用到了伴随矩阵的概念与性质，所以下面从伴随矩阵讲起。

伴随矩阵

伴随矩阵的概念

矩阵A的伴随矩阵： 行列式| A |的各个元素的代数余子式 A ${}_{ij}$ 所构成的如下的矩阵 $A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$ （注意这里$A_{ij}$的排列顺序）

即$A^{\ast }=(A_{ji})=(A_{ij}{)}^T$, 称为A的伴随矩阵

注：代数余子式概念参见行列式章节

伴随矩阵的性质

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

证明： 设 $\mathit{A}=\left(a_{ij}\right),$ 记 $\mathit{A}{\mathit{A}}^{\ast }=\left(b_{ij}\right),$ 则$b_{ij}=a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=|A|{\delta }_{ij}$， 故$\mathit{A}{\mathit{A}}^{\ast }=\left(|\mathit{A}|{\delta }_{ij}\right)=|\mathit{A}|\left({\delta }_{ij}\right)=|\mathit{A}|\mathit{E}$ 类似有${\mathit{A}}^{\ast }\mathit{A}=\left(\sum _{k=1}^n{A}_{ki}{a}_{kj}\right)=\left(|\mathit{A}|{\delta }_{ij}\right)=|\mathit{A}|\left({\delta }_{ij}\right)=|\mathit{A}|\mathit{E}$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },A^{\ast }=|A|A^{-1}$ （应该放到矩阵的逆矩阵章节）

二阶矩阵的伴随矩阵（仅适用于二阶矩阵）：主对角线互换，副对角线变号 ${\left[\begin{array}{}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{\ast }=\left[\begin{array}{}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

二阶矩阵的逆矩阵（公式是通用的，但是$A^{\ast }$只有二阶的比较好求）： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

$(A^{\ast }{)}^T=(A^T{)}^{\ast }$

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A$

$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$

证明：(用到了矩阵秩的性质八：$r(A)+r(A^{\ast })\le n$，学完矩阵的秩和向量组之后再看这里的证明) 设A为n阶

若r（A）=n，则丨A丨不等于0，$A^{\ast }=\mathrm{丨}A\mathrm{丨}{A}^{-1}$可逆，推出$r(A^{\ast })=n$。

若r（A）=n-2，则$\mathrm{丨}A\mathrm{丨}=0$且n-1阶子式全为0，因此$A^{\ast }=0$，即$r(A^{\ast })=0$

若r（A）=n-1，则丨A丨等于0且存在n-1阶子式不为0，因此$A^{\ast }$不等于0，$r(A^{\ast })\ge 1$ 又因为 $A{A}^{\ast }=\mathrm{丨}A\mathrm{丨}E=0$，$r(A)+r(A^{\ast })\le n$，$r(A^{\ast })\le n-r(A)=1$ 就可以得到$r(A^{\ast })=1$

可逆矩阵

逆矩阵的引出：逆变换

给定一个线性变换： $\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_n=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}$ 它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A， 并取： $\mathit{X}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathit{Y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$ 则线性变换可记为： $\mathbf{Y}=\mathbf{A}\mathbf{X}$

以 A 的伴随阵 $A^{\ast }$左乘上式两端： ${\mathit{A}}^{\ast }\mathit{Y}={\mathit{A}}^{\ast }\mathit{A}\mathit{X}$$=|\mathit{A}|\mathit{X}$ 当$|A|$ 时, 可解出$\mathit{X}=\frac{1}{|\mathit{A}|}{\mathit{A}}^{\ast }\mathit{Y}$,称为Y到X的线性变换，这是X到Y线性变换的逆变换。

记 $\mathbf{B}=\frac{1}{|\mathit{A}|}{\mathit{A}}^{\ast }$，上式可记作$X=BY$ 将其代入X到Y的线性变换： $\mathit{Y}=\mathit{A}\mathit{X}=\mathit{A}(\mathit{B}\mathit{Y})=(\mathit{A}\mathit{B})\mathit{Y}$，故 $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{E}$ 同理：$\mathit{X}=\mathit{B}(\mathit{A}\mathit{X})=(\mathit{B}\mathit{A})\mathit{X}$，故$BA=E$ 得到$AB=BA=E$，由此引入逆矩阵的定义。

可逆矩阵的定义

A是n阶方阵，如果存在n阶矩阵B，使得$AB=BA=E$成立，称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，记$A^{-1}=B$

由上面线性变换的逆变换可知，$A^{-1}=\frac{1}{|\mathit{A}|}{\mathit{A}}^{\ast }$

可逆矩阵的性质/运算律

定理：如果方阵A可逆，则A的逆矩阵唯一。

定理：方阵A可逆 $\iff$ $|A|\ne 0$

结合后面所学的知识，还有：

方阵A可逆 $\iff$ $|A|\ne 0$ $\iff$ $r(A)=n$ (秩为n) $\iff$ A的列/行向量线性无关 $\iff$ $A=P_1{P}_2{P}_3...P_s,P_i(i=1,2,3...s)$ 为初等矩阵 $\iff$ A与单位矩阵等价 $\iff$ 0不是矩阵A的特征值

当|A|=0 时,A 称为奇异矩阵,否则称非奇异矩阵.所以可逆矩阵又称非奇异矩阵。

定理：设方阵A，B都n阶，且$AB=E$，则$BA=E$

方阵A可逆，$\Rightarrow$ $A^{-1}$可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$ 方阵A可逆，$\Rightarrow$ $kA$可逆，且$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$ ($k\ne 0$时) 方阵A可逆，$\Rightarrow$ $A^T$可逆，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$ 方阵A，B都可逆，$\Rightarrow$ AB也可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

特别的， $(A^2{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^2$ $(A^n{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^n$

当A可逆时，还可定义$A^0=E,A^{-k}={\left(A^{-1}\right)}^k$，其中 k 为正整数 这样，当 A 可逆, $\lambda$ 、从 为整数时,有${\mathit{A}}^{\lambda }{\mathit{A}}^{\mu }={\mathit{A}}^{\lambda +\mu },{\left({\mathit{A}}^{\lambda }\right)}^{\mu }={\mathit{A}}^{\lambda \mu }$

方阵A可逆，则$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ 方阵A可逆，则$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot A^{\ast }$ 方阵A可逆，则${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{\ast }$

注意：方阵A，B，A+B都可逆 $\nRightarrow$ $(A+B{)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$

对角矩阵$\mathrm{\Lambda }$的逆矩阵： ${\left[\begin{array}{cccc}{a}_1,& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& \frac{1}{a_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \frac{1}{a_n}\end{array}\right]$

二阶矩阵求逆矩阵: 行列式分之一,乘以二阶伴随矩阵(主对角线互换, 副对角线取反),记作: ${\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{ll}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

方阵求逆（逆矩阵的计算）

方法1：定义法

定义法$AB=E$

方法2：伴随矩阵法

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$ （二阶方阵好用，三阶也还行；高阶方阵的伴随矩阵计算量就太大了）

方法3：初等行变换

$(A|E)\stackrel{\text{由上往下}}{\to }(\text{上三角矩阵}|\text{一般矩阵})$ $\stackrel{\text{由下往上}}{\to }(\text{对角矩阵}|A^{-1})$

方法4：分块矩阵求逆

${}^{-1}=$ ${\left[\begin{array}{ll}0& A\\ B& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ll}0& B^{-1}\\ A^{-1}& 0\end{array}\right]$

可对角化方阵

$\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{P}\mathbf{\Lambda }$时，$A=PA{P}^{-1}$

可对角化方阵的n次幂： $\mathit{A}=\mathit{P}\mathbf{\Lambda }{\mathit{P}}^{-1},{\mathit{A}}^2=\mathit{P}\mathbf{\Lambda }{\mathit{P}}^{-1}\mathit{P}\mathit{A}{\mathit{P}}^{-1}=\mathit{P}{\mathit{A}}^2{\mathit{P}}^{-1},\cdots ,{\mathit{A}}^n=\mathit{P}{\mathit{A}}^n{\mathit{P}}^{-1}$

矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式：

$\phi (\mathit{A})=a_0\mathit{E}+a_1\mathit{A}+\cdots +a_m{\mathit{A}}^m$$\phi (\mathit{A})$， 称为矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式.

方阵 ${\mathit{A}}^k,{\mathit{A}}^{\prime }$ 和 $\mathit{E}$ 都是可交换的,所以矩阵 $\mathit{A}$ 的两个多项式 $\phi (\mathit{A})$ 和$f(A)$ 总是可交换的, 即总有$\phi (\mathit{A})f(\mathit{A})=f(\mathit{A})\phi (\mathit{A})$

则平方、平方差公式成立

可对角化矩阵多项式的计算

1）如果 $\mathit{A}=\mathit{P}\mathbf{\Lambda }{\mathit{P}}^{-1},$ 则 ${\mathit{A}}^k=\mathit{P}{\mathbf{\Lambda }}^k{\mathit{P}}^{-1},$ 从而： $\begin{array}{rl}\phi (\mathit{A})& =a_0\mathit{E}+a_1\mathit{A}+\cdots +a_m{\mathit{A}}^m\\ & =\mathit{P}{a}_0\mathit{E}{\mathit{P}}^{-1}+\mathit{P}{a}_1\mathbf{\Lambda }{\mathit{P}}^{-1}+\cdots +\mathit{P}{a}_m{\mathbf{\Lambda }}^m{\mathit{P}}^{-1}\\ & =\mathit{P}\phi (\mathbf{\Lambda }){\mathit{P}}^{-1}\end{array}$

2）如果 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$ 为对角阵,则 ${\mathbf{\Lambda }}^k=\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k),$ 从而： $\phi (\mathbf{\Lambda })=a_0\mathit{E}+a_1\mathbf{\Lambda }+\cdots +a_m{\mathbf{\Lambda }}^m$ $=a_0\left(\begin{array}{cc}1& \\ & 1\\ & & \ddots \\ & & & 1\end{array}\right)+a_1\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)+\cdots +a_m\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1^m& & & & \\ & {\lambda }_2^m& & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & {\lambda }_n^m\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cccc}\phi \left({\lambda }_1\right)& & & \\ & \phi \left({\lambda }_2\right)& & \\ & & \ddots & \\ & & & \phi \left({\lambda }_n\right)\end{array}\right)$

分块矩阵

分块矩阵的性质/运算律

分块矩阵加法

$+=$

分块矩阵数乘

$\lambda \mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda {\mathit{A}}_{11}& \cdots & \lambda {\mathit{A}}_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ \lambda {\mathit{A}}_{s1}& \cdots & \lambda {\mathit{A}}_{\mathrm{sr}}\end{array}\right)$

分块矩阵乘法

矩阵A、B作如下分块： $\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathit{A}}_{11}& \cdots & {\mathit{A}}_{11}\\ ⋮& & ⋮\\ {\mathit{A}}_{11}& \cdots & {\mathit{A}}_{st}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathit{B}}_{11}& \cdots & {\mathit{B}}_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ {\mathit{B}}_{11}& \cdots & {\mathit{B}}_{tr}\end{array}\right)$ 则：

$\mathit{A}\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathit{C}}_{11}& \cdots & {\mathit{C}}_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ {\mathit{C}}_{41}& \cdots & {\mathit{C}}_{sr}\end{array}\right)$ 其中$C_{ij}=\sum _{k=1}^t{A}_{ik}{B}_{kj}(i=1,\cdots ,s;j=1,\cdots ,r)$

举例： $=$

分块矩阵的转置

${\left[\begin{array}{}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{}{A}^T& B^T\\ C^T& D^T\end{array}\right]$

分块矩阵的方幂

${\left[\begin{array}{}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{}{A}^n& 0\\ 0& B^n\end{array}\right]$

分块矩阵的逆

${\left[\begin{array}{}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right]$

${\left(\begin{array}{ll}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$

${\left(\begin{array}{ll}A& O\\ C& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right)$

分块对角矩阵

分块对角矩阵概念

设 A 为 n 阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余 子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵, 即： $\mathit{A}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathit{A}}_1& & & \mathbf{0}\\ & {\mathit{A}}_2& \\ & & \ddots & \\ \mathit{O}& & & {\mathit{A}}_{\mathrm{s}}\end{array}\right)$ 其中 $A_i(i=1,2,\cdots ,s)$ 都是方阵,那么称 $\mathit{A}$ 为分块对角矩阵.

分块对角矩阵性质

$|\mathit{A}|=\left|{\mathit{A}}_1\right|\left|{\mathit{A}}_2\right|\cdots |\mathit{A},|$

若 $\left|{\mathit{A}}_i\right|\ne 0(i=1,2,\cdots ,s),$ 则 $|\mathit{A}|\ne 0,$ 并有： ${\mathit{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathit{A}}_1^{-1}& & \mathit{O}\\ & {\mathit{A}}_2^{-1}& \\ & \ddots & \\ \mathit{O}& & {\mathit{A}}_s^{-1}\end{array}\right]$

按列分块的乘法

$AB=A{(}_1{,}_2,{,}_n)=(A_1,A_2,,A_n)$

有时候，将矩阵按行或按列分块后，会便于理解及计算。

矩阵乘法的理解： 若把 A 按行分成m 块,把 B 按列分成 n 块,便有： $\mathit{A}\mathit{B}=\left(\begin{array}{c}{\mathit{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathit{\alpha }}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)({\mathit{b}}_1,{\mathit{b}}_2,\cdots ,{\mathit{b}}_n)=\left(\begin{array}{cccc}{\mathit{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_1& {\mathit{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_2& \cdots & {\mathit{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_n\\ {\mathit{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_1& {\mathit{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_2& \cdots & {\mathit{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathit{\alpha }}_m^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_1& {\mathit{\alpha }}_m^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_2& \cdots & {\mathit{\alpha }}_m^{\mathrm{T}}{\mathit{b}}_{\mathrm{n}}\end{array}\right)={\left(c_{ij}\right)}_{m\times n}$ 其中： $c_{ij}={\mathit{\alpha }}_i^{\mathrm{\top }}{\mathit{b}}_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{is})\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ b_{2j}\\ ⋮\\ b_{sj}\end{array}\right)=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$

矩阵每行分别缩放一定倍数的理解： 以对角阵 A ${}_m$ 左乘矩阵 ${\mathit{A}}_{m\times n}$ 时,把 A 按行分块,有： ${\mathbf{\Lambda }}_m{\mathit{A}}_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_m\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}{\mathit{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathit{\alpha }}_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1{\mathit{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\lambda }_2{\mathit{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\lambda }_m{\mathit{\alpha }}_m^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$

矩阵每列分别缩放一定倍数的理解： 以对角阵 A, 右乘矩阵 $A_{m\times n}$ 时,把 A 按列分块,有： $\mathit{A}{\mathbf{\Lambda }}_n=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)=({\lambda }_1{a}_1,{\lambda }_2{a}_2,\cdots ,{\lambda }_n{a}_n)$

方阵的行列式

行列式章节大部分已经介绍过，这里只作罗列：

$|A^T|=|\mathit{A}\mid$

$|\mathit{A}\mathit{B}|=|\mathit{A}||\mathit{B}|$

$|k\mathbf{A}|=k^n|\mathbf{A}|$

$|AB|=|A||B|$，以及推论$|A^2|=|A{|}^2,|A^n|=|A{|}^n$

$\left|{\mathit{A}}^{\ast }\right|=|\mathit{A}{|}^{n-1}$

$\left|{\mathit{A}}^{-1}\right|=|\mathit{A}{|}^{-1}$

若 $\mathit{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $,{\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 是 $\mathit{A}$ 的特征值,则 $|\mathit{A}|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$

若矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 相似 $\mathit{A}\sim \mathit{B},$ 则 $|\mathit{A}|=|\mathit{B}|$

若$A^{\ast }$是 A 的伴随矩阵,则$\mathit{A}{\mathit{A}}^{\ast }={\mathit{A}}^{\ast }\mathit{A}=|\mathit{A}|\mathit{E}$

如果 A 和 B 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵,则： $\left|\begin{array}{ll}\mathit{A}& \ast \\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \ast & \mathit{B}\end{array}\right|=|\mathit{A}|\cdot |\mathit{B}|$，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵 $\left|\begin{array}{cc}\mathit{O}& \mathit{A}\\ \mathit{B}& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & \mathit{A}\\ \mathit{B}& \mathit{O}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathit{A}|\cdot |\mathit{B}|$，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵,m和n为A与B的阶数

注意：对于 $n$ 阶矩阵 $\mathit{A},\mathit{B},$ 一般来说 $\mathit{A}\mathit{B}\ne \mathit{B}\mathit{A}$,但总有$|AB|=|BA|$