线性代数-矩阵1

矩阵

矩阵的概念

矩阵的定义

\(m \times n\)个数，排成m行n列的表格：(为表示它们是一个整体，总加一个括弧) \(\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\)， 称为一个\(m \times n\)矩阵。简记为A。

实矩阵/复矩阵

元蒙是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

方阵

当\(m=n\)时，称为n阶矩阵（或n阶方阵）。即行数与列数都等于 \(n\) 的矩阵称为n 阶矩阵或 \(n\) 阶方阵.

方阵的行列式

设\(A=[a_{ij}]\)为n阶矩阵，其所有元素构成的行列式称为方阵A的行列式。记为\(|A|\)。 注1：仅方阵才有行列式 注2：A=0与\(|A|=0\)不要搞混。

零矩阵

如果一个矩阵的所有元素都是0，称这个矩阵为0矩阵。简记为0.

行矩阵/列矩阵

只有一行的矩阵： \(\boldsymbol{A}=\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)\) 称为行矩阵（又称行向量）

只有一列的矩阵： \(\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)\) 称为列矩阵（又称列向量）

同型矩阵

如果A和B都是\(m \times n\)矩阵，称A和B是同型矩阵。

即，两个矩阵的行数相等、列数也相等时, ,就称它们是同型矩阵

矩阵相等

如果 \(A=\left(a_{i j}\right)\)与 \(\mathbf{B}=\left(b_{i j}\right)\) 都是\(m \times n\)矩阵（同型矩阵）， 且对应元素相等，即\(a_{ij} = b_{ij} \quad (\forall i = 1,2,...,m, j= 1,2,...,n)\)， 称矩阵A和B相等，记A=B。

线性变换与系数矩阵关系

\(n\) 个变量 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 与 \(m\) 个变量 \(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\) 之间的关系式： \(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n} \\ y_{2}=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_{m}=a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\end{array}\right.\) 表示一个从变量 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) 到变量 \(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\) 的线性变换,其中 \(a_{i j}\) 为常数.线性变换的系数 \(a_{i j}\) 构成矩阵 \(\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}\)

给出线性变换，系数矩阵就唯一确定；给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，线性变换也唯一确定；即线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系 .

可以利用矩阵来研究 线性变换,也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

零矩阵

元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作O，注意不同型的零矩阵是不同的。

单位矩阵

主对角线上元素都是1，其余位置都是0的n阶方阵。记作E \(\left[\begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\) …

n阶单位矩阵：

\(\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)\)

对应的线性变换为：

\(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=x_{1} \\ y_{2}=x_{2} \\ \cdots \ldots \ldots \ldots \\ y_{n}=x_{n}\end{array}\right.\)

对角矩阵​

只有主对角线上有非零元素，其余位置都是0的矩阵。记作\(\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right)\) \(\left[\begin{array}{} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{} a_1 & 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0\\ 0 & 0 & a_3\end{array}\right]\)

n阶对角矩阵： \(\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}\end{array}\right)\)

对应的线性变换为：

\(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=\lambda_{1} x_{1} \\ y_{2}=\lambda_{2} x_{2} \\ \cdots \ldots \ldots \ldots \\ y_{n}=\lambda_{n} x_{n}\end{array}\right.\)

对称矩阵

需要先了解矩阵转置的概念。

设 A 为 n 阶方阵,如果满足 \(A^{\mathrm{T}}=A\),即\(a_{i j}=a_{j i}(i, j=1,2, \cdots, n)\) 那么 A 称为对称矩阵,简称对称阵.

对称阵的特点是 : 它的元素以对角线为对称轴对应相等.

共轭矩阵

当 \(A=\left(a_{i j}\right)\) 为复矩阵时,用 \(\bar{a}_{i j}\) 表示 \(a_{i j}\) 的共轭复数, 记\(\overline{\boldsymbol{A}}=\left(\bar{a}_{i j}\right)\) \(\overline{A}\)称为 A 的共轭矩阵.

共轭矩阵的运算律/性质： \(\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}\) \(\overline{\lambda A}=\bar{\lambda} \bar{A}\) \(\overline{\boldsymbol{A B}}=\bar{\boldsymbol{A}} \bar{\boldsymbol{B}}\)

矩阵的迹

矩阵主对角元素之和。即\(\Sigma a_{ii}\)

矩阵的基本运算

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算。

而矩阵乘法、矩阵的转置不是线性运算。

矩阵加法

\(A+B = [a_{ij} + b_{ij}]\)，这里要求A与B为同型矩阵。

\(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n}\end{array}\right)\)

加法性质/运算律

A,B,C为同型矩阵时， 交换律：\(A+B = B+A\) 结合律：\(A + B + C = A + (B + C)\) \(A+0 = 0+A = A\) \(A+ (-A) = 0\)

矩阵数乘

数$ \(与矩阵 A 的乘积：\)A = [a_{ij}]$

即： \(\lambda \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \lambda=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \lambda a_{m 2} & \cdots & \lambda a_{m n}\end{array}\right)\)

数乘性质/运算律

\(k(mA) = m(kA) = (km)A\) \((k+m)A = kA + mA\) \(k(A+B) = kA + kB\) \(1 A = A, 0A = 0\)

矩阵乘法

设 \(\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)\) 是一个 \(m \times s\) 矩阵 \(, \boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)\) 是一个 \(s \times n\) 矩阵, 那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 \(m \times n\) 矩阵 \(C=\left(c_{i j}\right),\) 其中\(c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i s} b_{i j}=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j}\) \((i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)\) 矩阵的乘积记作\(C=A B\)

而 \(\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i s}\right)\left(\begin{array}{c}b_{1 j} \\ b_{2 j} \\ \vdots \\ b_{i j}\end{array}\right)=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i j} b_{j i}\) \(=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j}=c_{i j}\) 表明乘积矩阵 \(\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}\) 的( \(i, j)\) 元 \(c_{i j}\) 就是 \(\boldsymbol{A}\) 的第 \(i\) 行与 \(\boldsymbol{B}\) 的第 \(j\) 列的乘积.

注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的 行数时,两个矩阵才能相乘。

从线性变换的角度看，线性变换的系数矩阵作乘积，相当于连续作两次线性变换。

AB 是 A 左乘 \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{B}\)被 A 左乘)的乘积, BA 是 A 右乘 B 的乘积, AB 有意义时, BA 可以没有意义.矩阵的乘法不满足交换律。 但是若对于两个 n 阶方阵 A，B,若 AB = BA，则称方阵 A 与B是可交换的.

乘法性质/运算律

结合律

\((AB)C = A(BC) = ABC\)

\(\lambda(A B)=(\lambda A) B=A(\lambda B)(\) 其中 \(\lambda\) 为数 \()\)

分配律

\(A(B+C) = AB + AC\) \((A+B) C = AC + BC\)

n阶方阵的幂（方幂）

\(A \cdot A = A^2\) \(A \cdots A = A^k\) (k个A的乘积)

单位矩阵的乘法

\(AE = A, EA = A\)

单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.

纯量阵的乘法

纯量阵： \(\lambda E=\left(\begin{array}{llll}\lambda & & \\ & \lambda & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda\end{array}\right)\)

由( \(\lambda E) A=\lambda A, A(\lambda E)=\lambda A,\) 可 知纯量阵 \(\lambda E\) 与矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的乘积等于数$ \(与 A 的乘积. 当 A 为 n 阶方阵时,有\)({n}) {n}={n}={n}(_{n}),$表明纯量阵 $E $与任何同阶方阵都是可交换的.

对角矩阵\(\Lambda\)的乘法

\(\left[\begin{array}{} a_1 & 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0\\ 0 & 0 & a_3\end{array}\right] \left[\begin{array}{} b_1 & 0 & 0\\ 0 & b_2 & 0\\ 0 & 0 & b_3\end{array}\right]\)\(=\left[\begin{array}{} a_1 b_1 & 0 & 0\\ 0 & a_2 b_2 & 0\\ 0 & 0 & a_3 c_3\end{array}\right]\)

对角矩阵乘法的交换律

\(\Lambda_1 \Lambda_2 = \Lambda_2 \Lambda_1\)

对角矩阵的幂

\(\left[ \begin{array} { c c c c } { a_1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { n } } \end{array} \right] ^ { n } = \left[ \begin{array} { c c c c } { a _ { 1 } ^ { n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 } ^ { n } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { n } ^ { n } } \end{array} \right]\)

$^n = ^n = $

矩阵乘法没有交换律

一般的矩阵乘法没有交换律 ： \(AB \neq BA\), \((\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{k} \neq \boldsymbol{A}^{k} \boldsymbol{B}^{k}\) \((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}\neq\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}\) \((A-B)(A+B)\neq A^{2}-B^{2}\)

只有在A与B可交换时，才能取等号。

注：\(AB = AC, A \neq 0 \nRightarrow B=C\)

行列向量的乘法

设\(\alpha,\beta\)都是n维列向量，则： \(\alpha \beta^T, \beta \alpha^T, \alpha \alpha^T\)都是\(n\times n\)的矩阵； \(\alpha^T \beta, \beta^T \alpha, \alpha^T \alpha\)都是数，也可看成\(1\times 1\)的矩阵。 \(\alpha^T \beta, \beta^T \alpha, \alpha^T \alpha\)分别是\(\alpha \beta^T, \beta \alpha^T, \alpha \alpha^T\)结果矩阵的迹。（矩阵的迹：主对角元素之和）

矩阵转置

矩阵的转置也是一种运算。

设\(A=[a_{ij}]_{m\times n}\)，将A的行列互换得到的\(n\times m\)的矩阵\([a_{ji}]_{n\times m}\)称为A的转置矩阵。记为\(A^T\)

转置性质/运算律

\((A+B)^T = A^T + B^T\) \((kA)^T = k A^T\) \((AB)^T = B^T A^T\) \((A^T)^T = A\)

逆矩阵与求逆运算

如果我们想要从\(AB=C\)中计算B时，该怎么做呢？

这里先提一下逆矩阵的概念：假设对于方阵A，若有方阵$A^{-1} \(，使得\)A^{-1} A = A A^{-1} = E\(。 则原等式两边可分别用\)A^{-1} \(左乘，即:\)A^{-1} A B = A^{-1} C\(， 得到\)B = A^{-1} C$

而其中的逆矩阵$A^{-1} $要怎么求呢？

实际上，可以通过对线性方程组（线性变换）进行逆变换，可以引出逆矩阵$A^{-1} $的概念以及求解步骤。 其中又用到了伴随矩阵的概念与性质，所以下面从伴随矩阵讲起。

伴随矩阵

伴随矩阵的概念

矩阵A的伴随矩阵： 行列式| A |的各个元素的代数余子式 A \(_{i j}\) 所构成的如下的矩阵 \(A^* = \left[\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{nn}\end{array}\right]\) （注意这里\(A_{ij}\)的排列顺序）

即\(A^* = (A_{ji})=(A_{ij})^T\), 称为A的伴随矩阵

注：代数余子式概念参见行列式章节

伴随矩阵的性质

\(A A^* = A^* A = |A| E\)

证明： 设 \(\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right),\) 记 \(\boldsymbol{A A}^{*}=\left(b_{i j}\right),\) 则\(b_{i j}=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=|A| \delta_{i j}\)， 故\(\boldsymbol{A A}^{*}=\left(|\boldsymbol{A}| \delta_{i j}\right)=|\boldsymbol{A}|\left(\delta_{i j}\right)=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}\) 类似有\(\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=\left(\sum_{k=1}^{n} A_{k i} a_{k j}\right)=\left(|\boldsymbol{A}| \delta_{i j}\right)=|\boldsymbol{A}|\left(\delta_{i j}\right)=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}\)

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*, A^* = |A| A^{-1}\) （应该放到矩阵的逆矩阵章节）

二阶矩阵的伴随矩阵（仅适用于二阶矩阵）：主对角线互换，副对角线变号 \(\left[\begin{array}{} a & b \\ c & d \end{array}\right]^* = \left[\begin{array}{} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]\)

二阶矩阵的逆矩阵（公式是通用的，但是\(A^*\)只有二阶的比较好求）： \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*\)

\((kA)^* = k^{n-1} A^*\)

\(|A^*| = |A|^{n-1}\)

\((A^*)^* = |A|^{n-2} A\)

\((A^*)^T = (A^T)^*\)

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*\)

\((A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{1}{|A|} A\)

\(r(A^*) = \left\{\begin{array}{}n, & r(A) = n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, &r(A)<n-1 \end{array}\right.\)

证明：(用到了矩阵秩的性质八：\(r(A)+r(A^*)\le n\)，学完矩阵的秩和向量组之后再看这里的证明) 设A为n阶

若r（A）=n，则丨A丨不等于0，\(A^*=丨A丨A^{-1}\)可逆，推出\(r(A^*)=n\)。

若r（A）=n-2，则\(丨A丨=0\)且n-1阶子式全为0，因此\(A^*=0\)，即\(r(A^*)=0\)

若r（A）=n-1，则丨A丨等于0且存在n-1阶子式不为0，因此\(A^*\)不等于0，\(r(A^*)\ge 1\) 又因为 \(AA^*=丨A丨E=0\)，\(r(A)+r(A^*)\le n\)，\(r(A^*)\le n-r(A) = 1\) 就可以得到\(r(A^*)=1\)

可逆矩阵

逆矩阵的引出：逆变换

给定一个线性变换： \(\left\{\begin{array}{l}y_{1}=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n} \\ y_{2}=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ y_{n}=a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}\end{array}\right.\) 它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A， 并取： \(\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right), \boldsymbol{Y}=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right)\) 则线性变换可记为： \(\mathbf{Y}=\mathbf{A X}\)

以 A 的伴随阵 \(A^*\)左乘上式两端： \(\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A X}\)\(=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{X}\) 当$| A | $ 时, 可解出\(\boldsymbol{X}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{Y}\),称为Y到X的线性变换，这是X到Y线性变换的逆变换。

记 \(\mathbf{B}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\)，上式可记作\(X=B Y\) 将其代入X到Y的线性变换： \(\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} \boldsymbol{Y})=(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \boldsymbol{Y}\)，故 \(\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}\) 同理：\(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A X})=(\boldsymbol{B A}) \boldsymbol{X}\)，故\(B A=E\) 得到\(A B=B A=E\)，由此引入逆矩阵的定义。

可逆矩阵的定义

A是n阶方阵，如果存在n阶矩阵B，使得\(AB=BA = E\)成立，称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，记\(A^{-1} = B\)

由上面线性变换的逆变换可知，\(A^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\)

可逆矩阵的性质/运算律

定理：如果方阵A可逆，则A的逆矩阵唯一。

定理：方阵A可逆 \(\Leftrightarrow\) \(|A| \neq 0\)

结合后面所学的知识，还有：

方阵A可逆 \(\Leftrightarrow\) \(|A| \neq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(r(A)=n\) (秩为n) \(\Leftrightarrow\) A的列/行向量线性无关 \(\Leftrightarrow\) \(A=P_1 P_2 P_3 ... P_s, P_i (i=1, 2, 3... s)\) 为初等矩阵 \(\Leftrightarrow\) A与单位矩阵等价 \(\Leftrightarrow\) 0不是矩阵A的特征值

当|A|=0 时,A 称为奇异矩阵,否则称非奇异矩阵.所以可逆矩阵又称非奇异矩阵。

定理：设方阵A，B都n阶，且\(AB=E\)，则\(BA=E\)

方阵A可逆，\(\Rightarrow\) \(A^{-1}\)可逆，且\((A^{-1})^{-1}= A\) 方阵A可逆，\(\Rightarrow\) \(kA\)可逆，且\((kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}\) (\(k\neq 0\)时) 方阵A可逆，\(\Rightarrow\) \(A^T\)可逆，且\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\) 方阵A，B都可逆，\(\Rightarrow\) AB也可逆，且\((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)

特别的， \((A^2)^{-1} = (A^{-1})^2\) \((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\)

当A可逆时，还可定义\(A^{0}=E, A^{-k}=\left(A^{-1}\right)^{k}\)，其中 k 为正整数 这样，当 A 可逆, \(\lambda\) 、从 为整数时,有\({\boldsymbol{A}}^{\lambda}{\boldsymbol{A}}^{\mu}={\boldsymbol{A}}^{\lambda+\mu},\left({\boldsymbol{A}}^{\lambda}\right)^{\mu}={\boldsymbol{A}}^{\lambda \mu}\)

方阵A可逆，则\(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\) 方阵A可逆，则\(A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { | A | } \cdot A ^ { * }\) 方阵A可逆，则\(\left( A ^ { * } \right) ^ { - 1 } = \left( A ^ { - 1 } \right) ^ { * }\)

注意：方阵A，B，A+B都可逆 \(\nRightarrow\) \((A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}\)

对角矩阵\(\Lambda\)的逆矩阵： \(\left[ \begin{array} { c c c c } { a _ {1} , } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { n } } \end{array} \right] ^{-1} = \left[ \begin{array} { c c c c } { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \frac { 1 } { a _ { n } } } \end{array} \right]\)

二阶矩阵求逆矩阵: 行列式分之一,乘以二阶伴随矩阵(主对角线互换, 副对角线取反),记作: \(\left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \frac { 1 } { a d - b c } \left[ \begin{array}{l l} { d } & { - b } \\ { - c} & { a } \end{array} \right]\)

方阵求逆（逆矩阵的计算）

方法1：定义法

定义法\(AB=E\)

方法2：伴随矩阵法

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*\) （二阶方阵好用，三阶也还行；高阶方阵的伴随矩阵计算量就太大了）

方法3：初等行变换

\((A|E) \overset{\text{由上往下}}{\rightarrow}(\text{上三角矩阵}|\text{一般矩阵})\) \(\overset{\text{由下往上}}{\rightarrow}(\text{对角矩阵}|A^{-1})\)

方法4：分块矩阵求逆

${ ^ { - 1 } = } $ \({ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { A } \\ { B } & { 0 } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { B ^ { - 1 } } \\ { A ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right] }\)

可对角化方阵

\(\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{P \Lambda}\)时，\(A=P A P^{-1}\)

可对角化方阵的n次幂： \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P \Lambda P}^{-1}, \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{P \Lambda P}^{-1} \boldsymbol{P A P}^{-1}=\boldsymbol{P A}^{2} \boldsymbol{P}^{-1}, \cdots, \boldsymbol{A}^{n}=\boldsymbol{P A}^{n} \boldsymbol{P}^{-1}\)

矩阵 \(A\) 的 \(m\) 次多项式：

\(\varphi(\boldsymbol{A})=a_{0} \boldsymbol{E}+a_{1} \boldsymbol{A}+\cdots+a_{m} \boldsymbol{A}^{m}\)\(\varphi(\boldsymbol{A})\)， 称为矩阵 \(A\) 的 \(m\) 次多项式.

方阵 \(\boldsymbol{A}^{k}, \boldsymbol{A}^{\prime}\) 和 \(\boldsymbol{E}\) 都是可交换的,所以矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的两个多项式 \(\varphi(\boldsymbol{A})\) 和\(f(A)\) 总是可交换的, 即总有\(\varphi(\boldsymbol{A}) f(\boldsymbol{A})=f(\boldsymbol{A}) \varphi(\boldsymbol{A})\)

则平方、平方差公式成立

可对角化矩阵多项式的计算

1）如果 \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P \Lambda P}^{-1},\) 则 \(\boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{\Lambda}^{k} \boldsymbol{P}^{-1},\) 从而： \(\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{A}) &=a_{0} \boldsymbol{E}+a_{1} \boldsymbol{A}+\cdots+a_{m} \boldsymbol{A}^{m} \\ &=\boldsymbol{P} a_{0} \boldsymbol{E} \boldsymbol{P}^{-1}+\boldsymbol{P} a_{1} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{P}^{-1}+\cdots+\boldsymbol{P} a_{m} \boldsymbol{\Lambda}^{m} \boldsymbol{P}^{-1} \\ &=\boldsymbol{P} \varphi(\boldsymbol{\Lambda}) \boldsymbol{P}^{-1} \end{aligned}\)

2）如果 \(\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right)\) 为对角阵,则 \(\boldsymbol{\Lambda}^{k}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}\right),\) 从而： \(\varphi(\mathbf{\Lambda})=a_{0} \boldsymbol{E}+a_{1} \boldsymbol{\Lambda}+\cdots+a_{m} \boldsymbol{\Lambda}^{m}\) \(=a_{0}\left(\begin{array}{ccc}1 & \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & & & 1\end{array}\right)+a_{1}\left(\begin{array}{c}\lambda_{1}& & &\\ & \lambda_{2} & &\\& & \ddots & \\& & & \lambda_n \\ \end{array}\right)+\cdots+a_{m}\left(\begin{array}{c}\lambda_{1}^{m} & & & &\\ &\lambda_{2}^{m}& & & \\ & & & \ddots & \\ & & & &\lambda_{n}^{m}\end{array}\right)\) \(=\left(\begin{array}{cccc}\varphi\left(\lambda_{1}\right) & & & \\ & \varphi\left(\lambda_{2}\right) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \varphi\left(\lambda_{n}\right)\end{array}\right)\)

分块矩阵

分块矩阵的性质/运算律

分块矩阵加法

$+= $

分块矩阵数乘

\(\lambda \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \lambda \boldsymbol{A}_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda \boldsymbol{A}_{s 1} & \cdots & \lambda \boldsymbol{A}_{\mathrm{sr}}\end{array}\right)\)

分块矩阵乘法

矩阵A、B作如下分块： \(\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{11} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{A}_{11} & \cdots & \boldsymbol{A}_{st}\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{B}_{11} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{B}_{11} & \cdots & \boldsymbol{B}_{t r}\end{array}\right)\) 则：

\(\boldsymbol{A B}=\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{C}_{11} & \cdots & \boldsymbol{C}_{1 r} \\ \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{C}_{41} & \cdots & \boldsymbol{C}_{s r}\end{array}\right)\) 其中\(C_{i j}=\sum_{k=1}^{t} A_{i k} B_{k j}(i=1, \cdots, s ; j=1, \cdots, r)\)

举例： $= $

分块矩阵的转置

\(\left[\begin{array}{} A & B \\ C & D \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{} A^T & B^T \\ C^T & D^T \end{array}\right]\)

分块矩阵的方幂

\(\left[\begin{array}{} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\right]^n = \left[\begin{array}{} A^n & 0 \\ 0 & B^n \end{array}\right]\)

分块矩阵的逆

\(\left[\begin{array}{} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{array}\right]\)

\(\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} A^{-1} & 0 \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{array}\right)\)

分块对角矩阵

分块对角矩阵概念

设 A 为 n 阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余 子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵, 即： \(\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{A}_{1} & & & \boldsymbol{0} \\ & \boldsymbol{A}_{2} & \\ & & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & &\boldsymbol{A}_{\mathrm{s}}\end{array}\right)\) 其中 \(A_{i}(i=1,2, \cdots, s)\) 都是方阵,那么称 \(\boldsymbol{A}\) 为分块对角矩阵.

分块对角矩阵性质

\(|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_{1}\right|\left|\boldsymbol{A}_{2}\right| \cdots|\boldsymbol{A},|\)

若 \(\left|\boldsymbol{A}_{i}\right| \neq 0(i=1,2, \cdots, s),\) 则 \(|\boldsymbol{A}| \neq 0,\) 并有： \(\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\boldsymbol{A}_{1}^{-1} & & \boldsymbol{O} \\ & \boldsymbol{A}_{2}^{-1} & \\ & \ddots & \\ \boldsymbol{O} & & \boldsymbol{A}_{s}^{-1}\end{array}\right]\)

按列分块的乘法

$AB = A(_1, _2 , , _n) = (A_1, A_2 , , A_n) $

有时候，将矩阵按行或按列分块后，会便于理解及计算。

矩阵乘法的理解： 若把 A 按行分成m 块,把 B 按列分成 n 块,便有： \(\boldsymbol{A B}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\left(\boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2}, \cdots, \boldsymbol{b}_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{n} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_{m}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{m}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{2} & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_{m}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_{\mathrm{n}}\end{array}\right)=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}\) 其中： \(c_{i j}=\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\top} \boldsymbol{b}_{j}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i s}\right)\left(\begin{array}{c}b_{1 j} \\ b_{2 j} \\ \vdots \\ b_{s j}\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j}\)

矩阵每行分别缩放一定倍数的理解： 以对角阵 A \(_{m}\) 左乘矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n}\) 时,把 A 按行分块,有： \(\boldsymbol{\Lambda}_{m} \boldsymbol{A}_{m \times n}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1}& & & \\& \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{m}\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_{m}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \lambda_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \lambda_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\)

矩阵每列分别缩放一定倍数的理解： 以对角阵 A, 右乘矩阵 \(A_{m \times n}\) 时,把 A 按列分块,有： \(\boldsymbol{A \Lambda}_{n}=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \left( \begin{array}{ccc}\lambda_{1} & & &\\ &\lambda_{2} & &\\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)=\left(\lambda_{1} a_{1}, \lambda_{2} a_{2}, \cdots, \lambda_{n} a_{n}\right)\)

方阵的行列式

行列式章节大部分已经介绍过，这里只作罗列：

\(| A^T|=| \boldsymbol{A} \mid\)

\(|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|\)

\(|k \mathbf{A}|=k^{n}|\mathbf{A}|\)

\(|A B|=|A||B|\)，以及推论\(|A^2| = |A|^2, |A^n| = |A|^n\)

\(\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}\)

\(\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|^{-1}\)

若 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶矩阵 \(, \lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n)\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值,则 \(|\boldsymbol{A}|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}\)

若矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 相似 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B},\) 则 \(|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|\)

若\(A^*\)是 A 的伴随矩阵,则\(\boldsymbol{A A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}\)

如果 A 和 B 分别是 \(m\) 阶和 \(n\) 阶矩阵,则： \(\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & * \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ * & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵 \(\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & *\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}* & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵,m和n为A与B的阶数

注意：对于 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B},\) 一般来说 \(\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{B A}\),但总有\(|A B|=|B A|\)