线性代数-矩阵1习题
线性代数-矩阵1习题
矩阵的基本运算
主要涉及矩阵加法、数乘、乘法、转置。
矩阵的乘法
矩阵乘法的计算
例1


例2


例3


例4 这题没做出来


例5


矩阵乘法的性质
例1 一般矩阵乘法不可交换

例2 基本消元不成立





求逆矩阵
直接求逆矩阵
二阶:逆矩阵为:行列式分之伴随
高阶:\((A|E) \rightarrow (E | A^-1)\)
例1


例2

例3


例4


例5


例6


解矩阵方程
线性变换可以表示为矩阵方程。线性变化与矩阵方程一一对应。
例1


例2


例3


例4


可对角化矩阵多项式求解
例1


例2


分块矩阵
例1


例2 不会证

\(\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} A^{-1} & 0 \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{array}\right)\)
例3


矩阵的证明
证明矩阵是对称矩阵
例1

\(\boldsymbol{B}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = ((AB)^T B)^T = (B^T A^T B)^T\) 又A是对称阵,即\(A^T = A\) 则$(B^T A^T B)^T = (B^T A B)^T $
所以$^{T} = (B^T A B)^T \(,即\)B^T A B$是对称阵。
例2

注:写出元素,用定义证明。
逆矩阵的证明
例1

证明:因为 A^k = 0 所以 (E-A)(E+A+A2+…+A(k-1)) = E+A+A2+…+A(k-1) -A-A2-…-A(k-1)-A^k = E - A^k = E 所以 E-A 可逆,且 (E-A)^-1 = E+A+A2+…+A(k-1)
例2


例3

AA=|A|E,AA^-1=E .所以A=|A|A^-1.既A*可逆。接下来就好做了。。。
伴随矩阵的证明
例1

(1)证明: 假设\(|a^*|≠0\) 由\(a^*\)可逆 因为\(aa^*=|a|a=0\) 等式两边右乘\((a^*)^-1\)则得 \(a=0\) 故\(a^*=0\) 所以\(|a^*|=0\) 与假设矛盾.
(2)略