线性代数-矩阵初等变换与线性方程组习题

July 30, 2020

线性代数-矩阵初等变换与线性方程组习题

矩阵初等变换

变换成最简型

例1

求初等变换矩阵

初等行变换 $A \to E$ 即 $P A = E$ 又 $P E = P$ 则 $(P | E) \to (E | P)$

例1

例2 A不是方阵时，可逆矩阵可能不唯一

我用初等行变换的方法做第二问，得到的答案是： $Q = (\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ - 1 & - 2 & 1 \\ - 4 & - 7 & 1 \end{array})$ 与标准答案不同。参考网上的意思是：当 $A^{T}$ （或 $A$ ）不是方阵时，Q不唯一。 https://zhidao.baidu.com/question/1695810374576283988.html?qbl=relate_question_4 https://m.iask.sina.com.cn/b/20287408.html

求逆矩阵

例1

例2

例3

矩阵的秩

初等变换前后的矩阵是同型矩阵。

初等变换不改变矩阵的秩，即同型矩阵的秩相等。

秩的概念与证明

例1

例2

例3 用到后面向量的线性无关概念

找线性无关的向量： https://zhidao.baidu.com/question/265408643.html

例4 证明等价矩阵的秩相等

1）先证明:若 A 经一次初等行变换变为 B,则 $R (A) ⩽ R (B)$ 设 $R (A) = r,$ 且 $A$ 的某个 $r$ 阶子式 $D \neq 0$ 。设进行一次初等行变换后，与 D 相对应的 r 阶子式为 $D_{1}$ . 1.1）当对A进行的是行置换或倍乘变换时， $D_{1} = \pm D$ 或 $D_{1} = k D,$ 因此 $D_{1} \neq 0,$ 从而 $R (B) ⩾ r$ 1.2）当对A进行的是行倍加变换时，可假设是在第一行与第二行进行倍加（其他行的情形可通过行置换变到第一二行）。需要分为两种情况来讨论： 1.2.1）若A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第 1 行,这时 D 也是 B 的 r 阶非零子式,故 $R (B) ⩾ r$ ； 1.2.2）若 $D$ 包含 A 的第 1 行,这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 $D_{1}$ , 记作 $D_{1} = | \begin{matrix} r_{1} + k r_{2} \\ r_{p} \\ ⋮ \\ r_{q} \end{matrix} | = | \begin{matrix} r_{1} \\ r_{p} \\ ⋮ \\ r_{q} \end{matrix} | + k | \begin{matrix} r_{2} \\ r_{p} \\ ⋮ \\ r_{q} \end{matrix} | = D + k D_{2}$ 若 $p = 2,$ 则 $D_{1} = D \neq 0;$ 若 $p \neq 2,$ 则 $D_{2}$ 也是 $B$ 的 $r$ 阶子式。由 $D_{1} - k D_{2} = D \neq 0,$ 知 $D_{1}$ 与 $D_{2}$ 不同时为0.总之, B 中存在 $r$ 阶非零子式 $D_{1}$ 或 $D_{2},$ 故 $R (B) ⩾ r$

以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B,则 $R (A) ⩽ R (B)$

2）由于B也可通过一次行变换变为 A ,故也有 $R (B) ⩽ R (A) .$ 因此经过一次初等行变换从A变换到B，有 $R (A) = R (B)$

3）经过有限次初等行变换从A变换到B，有 $R (A) = R (B)$

4）设 A 经初等列变换变为 B，则 $A^{T}$ 经初等行变换变为 $B^{T}$ , 由上段证明知 $R (A^{⊤}) = R (B^{⊤}),$ 又 $R (A) = R (A^{⊤}), R (B) = R (B^{⊤}),$ 因此 $R (A) = R (B)$

例5

证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量 $b^{T}$ ，使 $A = a b^{T}$

证: 必要性. 因为bai R(A)=1 所以 A有一个非零行du, 且其余行都是此行的倍数设此行为zhi b^T 则 A = k1b^T … b^T knb^T 令 a = (k1,…,1,…,kn)^T 则 A=ab^T 充分性dao. 因为存在非零列向量a及非零行向量b^T,使A=abT 所以A≠0. 所以 R(A)>=1. 又 R(A)=R(ab^T)<=R(a)=1 所以 R(A)=1. https://zhidao.baidu.com/question/299102973.html

例6

设A为列满秩矩阵，AB=C，证明Bx=0与Cx=0同解

首先, 若X是baiBX = 0的解du, 则CX = ABX = 0, 即X也是CX = 0的解. 反之, 若X是CX = 0的解, 有ABX = CX = 0, 即Y = BX是AY = 0的解. 而由A列满秩, AY = 0只有零zhi解, 故BX = Y = 0, 即X也是BX = 0的解. 综合两dao方面, BX = 0与CX = 0同解. 还有一种方法: 由A列满秩可得r(B) ≥ r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n = r(B) (n表示A的列数), 故r(C) = r(AB) = r(B). 因此BX = 0与CX = 0解空间维数相等. 又易见前者的解空间包含于后者, 因此二者解空间相同. https://zhidao.baidu.com/question/304276864816318884.html

例7

设A为m×n矩阵，证明方程AX=Em有解的充分必要条件为r（A）=m

充分性：当r(A)=m时，bai则A是行满秩的，A多添任一列向du量组成的zhi增光矩阵还是行满秩的，即有r(A ei)=m，其中daoei是单位阵的第i列，于是方程Ax＝ei有解bi，令X＝【b1 b2 … bm】，则AX＝E。必要性：若AX=E有解，则m＝r(Em)=r(AX)<=r(A)<=m，于是r(A)=m https://zhidao.baidu.com/question/371476936.html