线性代数-行列式
线性代数-行列式
行列式
行列式的概念
排列
1个n阶排列是指由\(1,2,...,n\)共n个数构成的一个有序数组。通常用\(j_1,j_2,...j_n\)表示一个n阶排列。
逆序
一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。（两个数的逆序）
逆序数
一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数. 用 \(\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)\) 表示排列 \(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\) 的逆序数。
奇排列与偶排列
如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列.
行列式
行列式是一个数。
对于n阶行列式，有： \(\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\) \(=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}\) \(\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}\) 表示对所有 \(n\) 阶排列求和,它结果是所有（取自不同行不同列的 n 个元素的乘积再乘以一个\(\pm 1\)）结果的代数和。各项的正负号由排列的逆序数决定。
等式右端又称n 阶行列式的完全展开式.
eg：二阶行列式的完全展开式： \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c\)
eg2：三阶行列式的完全展开式： \(\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32}\)
（二阶行列式、三阶行列式写完全展开式有一种简便记法：主对角线方向的元素-副对角线方向的元素。 在二阶、三阶行列式中0比较多时比较好用。 注意：只有二阶、三阶行列式有此特点/计算法，高阶行列式必须要按后面行列式展开公式来计算。）
行列式的性质
转置值不变
1）经过转置行列式的值不变,即 \(| A^T|=| \boldsymbol{A} \mid\)
1.2）上一条的推论：行列式行的性质与列的性质是对等的.（所以下面只讨论行的性质，要明白列也有相同性质）
eg： \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right|\)
两行互换值变号
2）两行(或列) 互换位置,行列式的值变号.
2.2）上一条的推论：如果行列式中两行(或列) 相同,行列式的值为 0.
数乘性质
3）如某行（或列）有公因子 k,则可把 k 提出行列式记号外. (亦即用数 k 乘行列式\(|A|\)等于用 k 乘它的某行(或列))。如整个行列式都有公因子k，则可以提出n次k （即\(|k \mathbf{A}|=k^{n}|\mathbf{A}|\)）
3.2）上一条的推论：某行(或列) 的元素全为 0,行列式的值为 0.
3.3）根据3）和2）有推论：若两行(或列) 的元素对应成比例，行列式的值为 0.
拆分性质
4）如果行列式某行(或列) 是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和.
eg：
\(\left|\begin{array}{ccc}a_{1}+b_{1} & a_{2}+b_{2} & a_{3}+b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ d_{1} & d_{2} & d_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ d_{1} & d_{2} & d_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ d_{1} & d_{2} & d_{3}\end{array}\right|\)
倍加性质
5）把某行(或列) 的 k 倍加到另一行(或列),行列式的值不变.
eg：
\(\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+k a_{1} & b_{2}+k a_{2} & b_{3}+k a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|\)
学过矩阵后补充的性质
1）（行列式乘法公式）若 A , B 都是 \(n\) 阶矩阵,则 \(|A B|=|A||B|\)
2）若 A 是 \(n\) 阶矩阵.\(A^*\) 是 \(A\) 的伴随矩阵,则 \(\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}\)
3）若 A 是 \(n\) 阶可逆矩阵, \(A^{-1}\) 是 \(A\) 的逆矩阵,则 \(\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|^{-1}\)
4）若 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶矩阵 \(, \lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n)\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值,则 \(|\boldsymbol{A}|=\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}\)
5）若矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 相似 \(\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B},\) 则 \(|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|\)
6）是 A 的伴随矩阵,则若 A 是 n 阶矩阵, \(A^*\)是 A 的伴随矩阵,则\(\boldsymbol{A A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}\)
行列式按行（或列）展开公式
余子式
n阶行列式： \(D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m}\end{array}\right|\) 从中划去 \(a_{i j}\) 所在的第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 \(n-1\) 阶行列式： \(\begin{array}{|cccccc|}a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{n n}\end{array} \mid\) 称其为 \(a_{i j}\) 的余子式,记为 \(M_{i j}\)
代数余子式
称 \((-1)^{i+j} M_{i j}\) 为 \(a_{i j}\) 的代数余子式,记为 \(A_{i j}\)。即\(A_{i j}=(-1)^{i-j} M_{i j}\)
代数余子式性质
行列式的任一行(列) 元素与另一行(列) 元素的代数余子式乘积之和为 0,即： \(\sum_{k=1}^{n} a_{i k} A_{j k}=a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i m} A_{j n}=0, \quad i \neq j\) \(\sum_{k=1}^{n} a_{k i} A_{k j}=a_{1 i} A_{1 j}+a_{2 i} A_{2 j}+\cdots+a_{n i} A_{n j}=0, \quad i \neq j\)
行列式按行（或列）展开公式
n 阶行列式的值等于它的任何一行(列) 元素,与其对应的代数余子式乘积之和，即： \(|\boldsymbol{A}|=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{m i}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} A_{i k}, \quad i=1,2, \cdots, n\) （按第i行展开） \(|\boldsymbol{A}|=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{w} = \sum_{k=1}^{n} a_{k j} A_{k j}, \quad j=1,2, \cdots n\) （按第j列展开）
几个重要的展开公式
根据行列式按行（或列）展开公式，可以写出所有的行列式的完全展开式。 其中几种特殊的行列式，其完全展开式很有特点，可以直接记忆。
上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
\(\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn}\end{array}\right|\) \(=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\) \(=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}\)
副对角线上（下）三角行列式
\(\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right|\) \(=\left|\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n \cdot n-1} & a_{n n}\end{array}\right|\) \(=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n-1} \cdots a_{n 1}\)
拉普拉斯公式
如果 A 和 B 分别是 \(m\) 阶和 \(n\) 阶矩阵,则： \(\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & * \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ * & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵 \(\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & *\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}* & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵,m和n为A与B的阶数
范德蒙行列式
\(\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right|\) \(=\prod_{1\leqslant j<i \leqslant n}\left(x_i-x_{j}\right)\)
行列式的计算
行列式的性质部分，介绍了行列式关于行和关于列的三种运算,即 \(r_{i} \leftrightarrow r_{j}, r_{i} \times k\)，\(r_{i}+k r_{j}\) 和 \(c_{i} \leftrightarrow c_{j}, c_{i} \times k, c_{i}+k c_{j},\) 利用这些运算可简化行列式的计算。
行列式的计算，一般遵循先化简再求值的计算步骤： 先利用行列式的性质，尽可能得0或得1（比较标准的形式是化为上/下三角行列式； 然后利用行列式展开公式求解。
行列式解法
最好都实践一下：
行列式在解方程组应用：克拉默法则
克拉默法则
对于有n个方程n个未知数的线性方程组： \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} \pi \cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\...\\ a_{n_{1}} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}\end{array}\right.\) 如果系数行列式\(D=|A| \neq 0\), 则方程组有唯一解，且$x_1 = ,x_2 = , …, x_n = $ 其中\(D_i\)是系数行列式的第i列替换为\([b_1, b_2, ... , b_n]^T\)形成的行列式。
克拉默法则推论
若齐次方程组： \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} \pi \cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\...\\ a_{n_{1}} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0\end{array}\right.\) 的系数行列式不为0，则方程组有唯一一组零解。
克拉默法则推论的逆否命题
若齐次方程组： \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} \pi \cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\...\\ a_{n_{1}} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0\end{array}\right.\) 有非零解，则它的系数行列式必为0.