高等数学-一元微分学-导数和微分
高等数学-一元微分学-导数和微分
概念定理和公式
导数与微分定义
导数与可导定义
设函数\(y=f(x)\)在\(x_0\)的邻域内有定义，\(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\)，称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，极限值称为函数的导数
还可以写成\(x \rightarrow x_0\)的等价定义（略）
由于导数是根据极限定义的。则 \(y=f(x)\)在\(x_0\)处可导\(\Leftrightarrow\) \(f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)\)和\(f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)\)存在且相等
左导数：\(f^{\prime}_{-}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\)
右导数：\(f^{\prime}_{+}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\)
导数几何意义
根据定义，导数是一个分式的极限，其中分子是函数在两点处的差值，分母是两点处的差值
函数在某点的导数，对应直角坐标系中曲线在该点处的斜率，即\(\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\)。
区间内可导与闭区间上可导
如果函数\(y=f(x)\)在\((a, b)\)内每一点均可导，称函数在\((a, b)\)内可导； 如果函数在\((a, b)\)内可导，且在x=a和x=b分别具有右导数\(f^{\prime}+(a)\)和左导数\(f^{\prime}-(b)\)，则函数在\([a, b]\)上可导。
微分与可微定义
如果函数y=f（x）在点x处的某邻域内有定义， \(\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)\)， 称y=f(x)在x处可微， 称\(d y=d f(x)=A \Delta x\)为f(x)在x处的微分。
又\(f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=A\)，记\(d x=\Delta x\)，则微分又可以写成\(\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)
导数与微分的重要定理与性质
（在某点处）导数存在 \(\Leftrightarrow\) 左导数与右导数都存在且相等
（在某点处）可导 \(\Rightarrow\) 连续
（在某点处）可微 \(\Leftrightarrow\) 可导
（在某点及其邻域）可导（且导数不为0） \(\Rightarrow\) 反函数可导,即\(\frac{d x}{d y}=\frac{1}{\frac{d y}{d x}}\),即\(x^{\prime} (y) = \frac {1}{y^{\prime}(x)}\)
\(d y=d f(x)=f^{\prime}(x) d x\)
可导的偶函数的导数是奇函数；可导的奇函数的导数是偶函数。
导数与微分运算法则
设\(u=u(x), v=v(x)\)均可导，则：
\((1)(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}, \quad d(u \pm v)=\mathrm{d} u \pm \mathrm{d} v\) \((2)(w v)^{\prime}=u v^{\prime}+u u^{\prime}, \quad d(u v)=u \mathrm{d} v+v \mathrm{d} u\) \((u v w)^{\prime}=u^{\prime} v w+u v^{\prime} w+u v w^\prime\)
\((3)\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u u^{\prime}-u v^{\prime}}{v^{2}}(v \neq 0), \mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \mathrm{d} u-u \mathrm{d} v}{v^{2}} \quad(v \neq 0)\)
导数公式与微分公式
| \(y=c\) | \(y^{\prime}=0\) | \(d y=0\) |
|---|---|---|
| \(y=x^{\alpha}\) | \(y^{\prime}=a x^{\alpha-1}\) | \(\mathrm{d} y=\alpha x^{\alpha-1} \mathrm{d} x\) |
| \(y=a^{x}\) | \(y^{\prime}=a^{x} \ln a\) | \(\mathrm{d} y=a^{x} \ln a d x\) |
| \(y=\mathrm{e}^{x}\) | \(\left(\mathrm{e}^{z}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}\) | \(\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=\left\langle\mathrm{e}^{x}\right\rangle \mathrm{d} x\) |
| \(y=\log _{a} x, a>0, a \neq 1\) | \(y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}\) | \(d y=\frac{1}{x \ln a} d x \quad(x>0)\) |
| \(y=\ln x\) | \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) | \(d(\ln x)=\frac{1}{x} d x \quad(x>0)\) |
| \(y=\sin x\) | \(y^{\prime}=\cos x\) | \(d(\sin x)=\cos x d x\) |
| \(y=\cos x\) | \(y^{\prime}=-\sin x\) | \(\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x \mathrm{d} x\) |
| \(y=\tan x\) | \(y^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=\sec ^{2} x\) | \(\mathrm{d}(\tan x)=\sec ^{2} x \mathrm{d} x\) |
| \(y=\cot x\) | \(y^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}\) | \(d(\cot x)=-\csc ^{2} x d x\) |
| \(y=\sec x\) | \(y^{\prime}=\sec x \tan x\) | \(\mathrm{d}(\sec x)=\sec x \tan x \mathrm{d} x\) |
| \(y=\csc x\) | \(y^{\prime}=-\csc x \cot x\) | \(d(\csc x)=-\csc x \cot x d x\) |
| \(y=\arcsin x\) | \(y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) | \(d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) |
| \(y=\arccos x\) | \(y^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) | \(d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\) |
| \(y=\arctan x\) | \(y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\) | \(d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^{2}} d x\) |
| \(y=\operatorname{arccot} x\) | \(y^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}\) | \(\mathrm{d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d} x\) |
高阶导数定义与基本公式
若y=f(x)的一阶导函数\(f^{\prime}(x)\)在x点可导，称y=f(x)在x点存在二阶导函数\(f^{\prime \prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+\Delta x)-f^{\prime}(x)}{\Delta x}\)。
以此类推可得y=f(x)的n阶导函数\(f^{(n)}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f^{(n-1)}(x+\Delta x)-f^{(n-1)}(x)}{\Delta x}\)
高阶导数公式
| \(\left( x^{m}\right)^{(n)}=m(m-1) \cdot \cdots \cdot(m-n+1) x^{m-n}\) | |
|---|---|
| \(\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x} \ln ^{n} a\) | \(\left(e^{x}\right)^{(n)}=e^{z}\) |
| \((\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{x^{n}}\) | |
| \((\sin k x)^{(n)}=k^{n} \sin \left(k x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)\) | |
| \((\cos k x)^{(n)}=k^{n} \cos \left(k x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)\) | |
| \((u v)^{(n)}=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} u^{(i)} v^{(n-i)}\) | 即莱布尼兹高阶导数公式 |
| \(\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^{n} m ! \cdot a^{n}}{(a x+b)^{n+1}}\) | |
求各种函数的导数方法
求复合导数的微分
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
求参数方程的导数和微分
\(\frac{d y}{d x}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}\)
\(\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(y^{\prime}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \\ &=\frac{x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t) x^{\prime \prime}(t)}{\left[x^{\prime}(t)\right]^{2}} \cdot \frac{1}{x^{\prime}(t)}=\frac{x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t) x^{\prime \prime}(t)}{\left[x^{\prime}(t)\right]^{3}} \end{aligned}\)
求隐函数的导数和微分
三种方法：
- 方程两边对x求导，注意y也是x的函数，方程两边分别作为复合函数求导
- 公式法：对于\(F(x, y)=0\)，\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{F_{x}^{\prime}(x, y)}{F_{y}^{\prime}(x, y)}\)
- 方程两边取微分（微分形式不变性），然后解出\(\frac{d y}{d x}\)
例2
由隐函数组成的参数方程求导
求幂指函数的导数和微分
\(y=u(x)^{v(x)} \quad(u(x)>0, u(x) \neq 1) \quad \Rightarrow y=e^{v(x) \ln u(x)}\)
\(y^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{v}(x) \ln x(x)}\left[v^{\prime}(x) \ln u(x)+v(x) \cdot \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}\right]\)
\(=u(x)^{v(x)}\left[v^{\prime}(x) \ln u(x)+v(x) \cdot \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}\right]\)
表达式为若干因子连乘、乘方、开方或商形式函数的导数或微分
一般用对数微分法（先对式子两边取对数，然后在等式的两边对x求导）
例： \(y=(x-2)^{2} \sqrt[3]{\frac{(x+3)^{2}\left(3-2 x^{2}\right)^{4}}{\left(1+x^{2}\right)\left(5-3 x^{3}\right)}}\)，求y‘
先化为分式指数幂形式：\(y=(x-2)^{2}(x+3)^{\frac{2}{3}}\left(3-2 x^{2}\right)^{\frac{4}{3}}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot\left(5-3 x^{3}\right)^{-\frac{1}{3}}\)
式子两边取对数：\(\ln y=2 \ln (x-2)+\frac{2}{3} \ln (x+3)+\frac{4}{3} \ln \left(3-2 x^{2}\right)-\frac{1}{3} \ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{3} \ln \left(5-3 x^{3}\right)\)
两边对x求导：\(\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2}{x-2}+\frac{2}{3(x+3)}-\frac{16 x}{3\left(3-2 x^{2}\right)}-\frac{2 x}{3\left(1+x^{2}\right)}+\frac{3 x^{2}}{5-3 x^{3}}\)
代入y移项即可得最终结果
求分段函数的导数和微分
- 分段内与一般导数求法无异
- 分界点处的导数用导数的定义求
求绝对值函数的导数和微分
- 写成分段函数
- 求分段函数的导数和微分
求极限式表示的函数的导数和微分
- 先求极限，得到函数的分段表达式
- 求分段函数的导数和微分
求变限积分函数的导数和微分
如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)连续，对于变上限积分函数\(\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t\)，它的导数\(\Phi^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=f(x)\)，或者\(\mathrm{d} \Phi(x)=\mathrm{d} \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(x) \mathrm{d} x\)
如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)连续，对于变下限积分函数\(\Psi(x)=\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t\)，它的导数\(\Psi^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{x}^{b} f(t) d t=-f(x)\)，或者\(\Phi^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{x}^{b} f(t) d t=-f(x)\)
如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)连续，对于上下限都变的积分函数，它\(\Phi(x)=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) d t\)的导数是\(\Phi^{\prime}(x)=f[h(x)] \cdot h^{\prime}(x)-f[g(x)] \cdot g^{\prime}(x)\)
高航 变限积分上求导：https://www.saikr.com/a/2774
讨论分界点处的导数和微分
求分段函数分界点的导数和微分
用导数的定义来看
带绝对值函数分界点的导数和微分
根据导数的定义来看（左右导数存在且相等）
例1
极限式表示的函数的可导性
- 先求极限，得到函数的的分段表达式
- 再讨论函数的可导性
例1
求高阶导数
- 直接法（归纳法）：一阶，二阶，三阶，，，递推找规律
- 间接法（公式法）：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换，泰勒级数等方法，达到将给定的函数求出n阶导数的方法，称之为间接法(//TODO 求高阶导数）
- 分式有理函数的高阶导数
- \(\cos ^{n} \alpha x, \sin ^{m} \beta x\)的和、差、积所构成的函数的高阶导数
- 利用函数的泰勤级数展开式，求函数在一点处的高阶导数
- 利用递推公式求n阶导数
- 利用莱布尼茨高阶导数公式求高阶导数
分式有理函数的高阶导数
- 先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，
- 再将有理真分式写成部分分式之和，
- 最后仿\(\left(x^{m}\right)^{(n)}\)的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数
例1
\(y=\frac{a x+b}{c x+d}\) 由多项式除法得：\(y=\frac{a}{c}+\frac{b c-a d}{c^{2}} \frac{1}{x+\frac{d}{c}}\) 将其有理真分式写成部分分式之和：\(y = \frac{a}{c}+\frac{b c-a d}{c^{2}}\left(x+\frac{d}{c}\right)^{-1} \quad\left(x \neq-\frac{d}{c}\right)\) 仿\(\left(x^{m}\right)^{(n)}\)求n阶导数： \(\begin{aligned} y^{(n)} &=\frac{b c-a d}{c^{2}}(-1)(-2) \cdots(-1-n+1)\left(x+\frac{d}{c}\right)^{-1-n} \\ &=\frac{b c-a d}{c^{2}} \frac{(-1)^{n} n !}{\left(x+\frac{d}{c}\right)^{n+1}}=\frac{(-1)^{n} n ! c^{n-1}(b c-a d)}{(c x+d)^{n+1}} \end{aligned}\)
\(\cos ^{n} \alpha x, \sin ^{m} \beta x\)的和、差、积所构成的函数的高阶导数
利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次数逐次降低，最后变为\(\cos k x, \sin k x\)的和、差形式，再用公式\(\sin ^{(n)} k x=k^{n} \sin \left(k x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right), \cos ^{(n)} k x=k^{n} \cos \left(k x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)\)将给定函数的n阶导数写出来。
利用函数的泰勤级数展开式求高阶导数
例1
利用递推公式求高阶导数
//TODO
利用莱布尼茨公式求高阶导数
//TODO
已知导数求极限或参数，或者已知极限求导数
例1
例2
导数与微分、增量的关系
