高等数学-一元微分学-可导函数的中值定理习题

高等数学-一元微分学-可导函数的中值定理习题

考察中值定理的定义

考察罗尔定理的定义

例1
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考察拉格朗日中值定理定义

例1
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例2
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例3
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其实这道题就是求极限，没考察中值定理

例4
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例5
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例6
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例7
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考察泰勒定理

例1
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例2
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分母也可使用泰勒展开替换

例3
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其实此题不用泰勒展开，多次使用洛必达法则，也可求出a和b，而且更简单

例4
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例5
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求证存在ξ使等式成立

求证f(n)(ξ)=0

一般会用到罗尔定理

找多个相同值点，多次使用罗尔定理

例1
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本题使用2次零点定理+罗尔定理证明

例2
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介值定理+罗尔定理得两个等值点，再用一次罗尔定理证明 函数值相加要想到用介值定理

例3
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例4
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例5
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求证仅含ξ的等式

即求证仅包含ξ不包含其他字母的等式

一般方法包括积分还原法和微分方程法

微分中值定理证明题中构造辅助函数的方法

积分还原法求证仅ξ的等式

左侧可化为f′(x)f(x)=[ln⁡f(x)]′的式子

一般要求要证的式子包含一个函数及其导数（差一阶），有些可以变换到求证f′(x)f(x)=⋅⋅⋅的形式，我们可以将左右都看作是函数的导数。

而f′(x)f(x)=[ln⁡f(x)]′，即证[ln⁡f(x)]′−[balabala]′=0, 即证{ln⁡[f(x)⋅balabala]}′=0。

则我们一般可以取辅助函数ϕ(x)=ln⁡[f(x)⋅balabala来求证。

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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找其他原函数

变为式子=0的形式，式子左侧作为函数，试着积分，可解的的话，就可作为辅助函数。

例1
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例2
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微分方程法

将要证的方程看作微分方程，解出函数的形式，作为辅助函数。

例1
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例2
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求证含ξ和a与b的等式

这里a,b指区间端点，一般是在[a,b]上连续，在(a,b)上可导

a，b与ξ可分离

若a，b侧有如下形式，则使用对应的方法求解

批注 2020-04-17 201716
例1
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例2
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a，b与ξ不可分离

ξ变为x，去分母，移项，变为式子=0, 将其看作(?)'=0，以？部分作辅助函数来证明

例1
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例2
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求证存在ξ和η使等式成立

仅有f′(ξ),f′(η)

方法是找3个点，使用2次拉格朗日中值定理

例1
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例2
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例3
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ξ,η复杂度不同

方法：留下偏复杂一部分，凑成某式的导数，用拉格朗日中值定理；或者凑成连个两个导数的比值，用柯西中值定理。

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例1
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例2
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例3
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例4
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例5

这题第二问要想到使用第一问的结论

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求证存在ϵ,ξ,η使等式成立

例1
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拉格朗日中值定理使用

出现f(b)−f(a)想到使用拉格朗日中值定理

例1
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例2
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例3
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出现f(a),f(c),f(b) 想到使用2次拉格朗日中值定理

例1
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例2
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例3
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不等式的证明

例1
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其实设f(x)=x,g(x)=ln(x)用柯西中值定理来做也简单。