高等数学-一元函数微分学-单调性与极值

概念

极值、最值（略）

曲线的凹凸性

同理可有曲线是凸的的定义

曲线的拐点

连续曲线y=f(x)上的凹、凸弧的分界点称为该曲线的拐点

曲线的驻点

连续曲线y=f(x)上若f’(x)=0的解为a则称其为f(x)的驻点或称稳定点、临界点

极值与单调性的的判定

单调性的判定

在区间I上恒有\(f^{\prime}(x) \geqslant 0\)，称f(x)在区间I上单调增加；同理判断单调减少。

极值的判定

• 确定函数定义域
• 找所有的不可导点和导数为0点
• 根据极值的判定条件来判定

极值的判定条件（充分条件）

极值第一充分条件

函数在某点连续，该点左侧导数大于0，右侧导数小于0，则该点取得极大值

函数在某点连续，该点左侧导数小于0，右侧导数大于0，则该点取得极小值

极值第二充分条件

函数在某点的一阶导数等于0，二阶导数不等于0。若该点的二阶导数大于0，该点取得极小值；若该点的二阶导数小于0，则该点取得极大值

函数取极值的性质

极值的必要条件

\(x=x_{0}\)处取得极值，且可导 \(\Rightarrow\) 导数为零：\(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\)

凹凸性与拐点的判定

凹凸性的判定

函数在区间I上恒有\(f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0\)（且不在任意子区间上取等号），则曲线在区间I上是凹的。 \(f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0\)，凸的。

拐点的必要条件

函数在某点取得拐点，且二阶导数存在，则二阶导数等于0

拐点的充分条件

函数在某点连续，某去心邻域二阶可导，左右邻域二阶导数反号，则函数在该点取拐点

最值的求法

闭区间上最值求法

（1）求出f（x）在该区间内部的一切驻点及不可导的点，并计算相应的函数值； （2）求出f（x）在闭区间两端点处的函数值 （3）比较上述（1）（2）中求出的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值 （4）如果（2）区间内部只有个可疑极值点，并且是极大（极小值点，则它必是f（x）的最大（最小值点此时的区间”可以是闭的，也可以是开的、半开半闭或无穷区间实际上遇到的多数是（4）

应用题求最值

（1）建模：建立目标函数的表达式y=f（x），及相应的定义区间1； （2）如果f（x）在I内可导，则求出f（x）在I内的一切驻点； （3）如果I内只有一个驻点，并且经检验，是极大（极小）值点，则在此唯一的驻点处函数必为最大（最小）值

不等式的证明

构造函数求极值来证明

移项构造函数求最值，恒大于（或恒大于等于或。。。）某个值，得证。

函数的渐近线

水平渐近线

若\(\lim_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b_{1}\)，则\(y=b_{1}\)是一条水平渐近线； 若\(\lim_{x \rightarrow-\infty} f(x)=b_{2}\)，则\(y=b_{2}\)是一条水平渐近线（若\(b_1 = b_2\),只算作一条）

铅直渐近线

若存在\(x_0\)，使\(\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\infty\)（或者\(\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=\infty\)），则\(x=x_0\)是一条铅直渐近线。

这里的\(x_0\)先由观察法获得，一般考虑分母为0处，对数的真数为0处等。

斜渐近线

\(y=a x+b\)是函数\(y=f(x)\)的一条斜渐近线 \(\Leftrightarrow\) \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=a\),\(\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)=b\).

对于\(x \rightarrow-\infty\)也类似。

若\(a=0\)，即为水平渐近线。

水平渐近线和斜渐近线是互克的