高等数学-一元积分学-不定积分

高等数学-一元积分学-不定积分

不定积分

概念与性质

原函数

原函数:如果F(x)=f(x),则F(x)f(x)的原函数。

如果f(x)存在原函数,则存在无穷多个原函数,且任意两个原函数相差常数。

原函数存在定理:连续函数一定存在原函数

不定积分

不定积分,即一个函数的原函数,包括它的所有原函数,即f(x)dx=F(x)+c

不定积分性质

以下在f(x)连续的前提下

(f(x)dx)=f(x);df(x)dx=f(x)dx

f(x)dx=f(x)+C;df(x)=f(x)+C

(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx

kf(x)dx=kf(x)dx, 常数 k0

不定积分工具

基本公式

kdx=kx+C

xadx={1a+1xa+1,a1ln|x|+c,a=1

axdx=axlna+c

exdx=ex+c

sinxdx=cosx+c

cosxdx=sinx+c

tanxdx=ln|cosx|+c

cotxdx=ln|sinx|+c

secxdx=ln|secx+tanx|+c

cscxdx=ln|cscxcotx|+c

sec2xdx=tanx+c

csc2xdx=cotx+c

secxtanxdx=secx+c

cscxcotxdx=cscx+c

平方和平方差公式

dx1x2=arcsinx+c

dxa2x2=arcsinxa+c

11+x2dx=arctanx+c

1a2+x2dx=1aarctanxa+c

1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+c

1x2a2dx=ln|x+x2a2|+c

1x2a2dx=12aln|xax+a|+c

a2x2dx=a22arcsinxa+12xa2x2+c

换元积分法

第一类换元积分法

如下面所示的换元积分过程,即为第一类换元积分法

f[φ(x)]φ(x)dx=f[φ(x)]dφ(a)

=φ(x)=tf(t)dt=F(t)+c=F[φ(x)]+c

第二类换元积分法
无理转有理(不一定需要)
  • R(x,ax+bn,ax+bm)dx,a0。 命 ax+bmn=t,x=tmnba,dx=mnatmn1dt
  • R(x,ax+bcx+d)dx 型 命 ax+bcx+d=t,x=dt2bact2,dx=2(adbc)t(act2)2dt. 其中设 adbc0
  • R(sinx,cosx)dx 型 命 tanx2=t,sinx=2t1+t2,cosx=1t21+t2,dx=21+t2dt. 此称万能代换,非到不得己时不用.
平方和差的三角替换

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分部积分法

(uv)=uv+uv uv=vdu+udv udv=uvvdu

幂函数*指数函数的积分xnexdx
幂函数*对数函数的积分xnlnxdx
幂函数*三角函数的积分xndx
幂函数*反三角函数的积分xndx
指数函数*正余弦函数的积分eax×{cosbxsinbxdx
正余弦倒数的n次幂的积分(奇次幂)

特殊积分类型

有理分式R(x)dx的积分

其中R(x)=P(x)a(x),而P(x)和Q(x)为多项式

如果P的次数小于于Q的次数,称其为真分式; 如果P的次数大于等于Q的次数,称其为假分式

R(x)为假分式

如果R(x)为假分式,要先转换成: 多项式+真分式

例1

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R(x)为真分式

如果R(x)为真分式,R(x)分子不变,分母因式分解;然后拆成部分和的形式。

例1

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例2

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例3

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例4

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三角有理分式的积分

关于sinx,cosx的有理分式的积分,“万能代换”可解决这类间题。但随之而来的是一串复杂的计算,考研至今未见到过非要用它才能求这种不定积分的题对于这类题,

一般采用下列办法处理:①化成同角;②尽量约分;③分母化成单项式; ④利用1=sin2x+cos2x1=(sin2x+cos2x)2等等。由于三角公式众多,化简时有些技巧,考研中这类题出得很少,但也曾考过

简单无理分式的积分

按照几种典型类型换元法中所讲的方法换元

解路思路 含有ax+bn,ax+bn的简单分式的积分,一般命 ax+bk=t( 其中 k 为 n,m 的最小公倍教)以去掉根式.

可以使用平方和三角替换的,画三角替换。

例1
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例2
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