高等数学-一元积分学-不定积分

不定积分

概念与性质

原函数

原函数：如果$F^{\prime }(x)=f(x)$，则$F(x)$是$f(x)$的原函数。

如果$f(x)$存在原函数，则存在无穷多个原函数，且任意两个原函数相差常数。

原函数存在定理：连续函数一定存在原函数

不定积分

不定积分，即一个函数的原函数，包括它的所有原函数，即$\int f(x)dx=F(x)+c$

不定积分性质

以下在$f(x)$连续的前提下

${(\int f(x)\mathrm{d}x)}^{\prime }=f(x);\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$

$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C_{;}\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C$

$\int (f(x)\pm g(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$

$\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x,$ 常数 $k\ne 0$

不定积分工具

基本公式

$\int kdx=kx+C$

$\int x^{a}dx=\{\begin{array}{lll}\frac{1}{a+1}\cdot x^{a+1}& ,& a\ne -1\\ \ln |x|+c& ,& a=-1\end{array}$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$

$\int e^{x}dx=e^x+c$

$\int \sin xdx=-\cos x+c$

$\int \cos xdx=\sin x+c$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+c$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+c$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+c$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+c$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+c$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+c$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+c$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+c$

平方和平方差公式

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+c$

$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+c$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+c$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+c$

$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+c$

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+c$

换元积分法

第一类换元积分法

如下面所示的换元积分过程，即为第一类换元积分法

$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f[\phi (x)]d\phi (a)$

$\stackrel{\phi (x)=t}{=}\int f(t)dt=F(t)+c=F[\phi (x)]+c$

第二类换元积分法

无理转有理（不一定需要）

• $\int R(x,\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})\mathrm{d}x$ 型 $,a\ne 0$。 命 $\sqrt[mn]{ax+b}=t,x=\frac{t^{mn}-b}{a},\mathrm{d}x=\frac{mn}{a}{t}^{mn-1}\mathrm{d}t$
• $\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})\mathrm{d}x$ 型 命 $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,x=\frac{d{t}^2-b}{a-c{t}^2},\mathrm{d}x=\frac{2(ad-bc)t}{{(a-c{t}^2)}^2}\mathrm{d}t.$ 其中设 $ad-bc\ne 0$
• $\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x$ 型 命 $\tan \frac{x}{2}=t,$ 则 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t.$ 此称万能代换,非到不得己时不用.

平方和差的三角替换

分部积分法

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ $uv=\int vdu+\int udv$ $\int udv=uv-\int vdu$

幂函数*指数函数的积分$\int x^n\cdot e^{x}dx$

幂函数*对数函数的积分$\int x^n\cdot \ln xdx$

幂函数*三角函数的积分$\int x^n\cdot \mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{函}\mathrm{数}dx$

幂函数*反三角函数的积分$\int x^n\cdot \mathrm{反}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{函}\mathrm{数}dx$

指数函数*正余弦函数的积分$\int e^{ax}\times \{\begin{array}{l}\cos bx\\ \sin bx\end{array}dx$

正余弦倒数的n次幂的积分（奇次幂）

特殊积分类型

有理分式$\int R(x)dx$的积分

其中$R(x)=\frac{P(x)}{a(x)}$，而P(x)和Q(x)为多项式

如果P的次数小于于Q的次数，称其为真分式； 如果P的次数大于等于Q的次数，称其为假分式

$R(x)$为假分式

如果$R(x)$为假分式，要先转换成： 多项式+真分式

例1

$R(x)$为真分式

如果$R(x)$为真分式，R(x)分子不变，分母因式分解；然后拆成部分和的形式。

例1

例2

例3

例4

三角有理分式的积分

关于sinx,cosx的有理分式的积分，“万能代换”可解决这类间题。但随之而来的是一串复杂的计算，考研至今未见到过非要用它才能求这种不定积分的题对于这类题，

一般采用下列办法处理：①化成同角；②尽量约分；③分母化成单项式； ④利用$1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$或$1={({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^2$等等。由于三角公式众多，化简时有些技巧，考研中这类题出得很少，但也曾考过

简单无理分式的积分

按照几种典型类型换元法中所讲的方法换元

解路思路 含有$\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}$的简单分式的积分，一般命 $\sqrt[k]{ax+b}=t(\text{ 其中 }k\text{ 为 }n,m$ 的最小公倍教）以去掉根式.

可以使用平方和三角替换的，画三角替换。

例1

例2