高等数学-一元积分学-不定积分

高等数学-一元积分学-不定积分

求不定积分

换元积分法

第一类换元积分法

例1
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例2
image-20200422205108701
image-20200422205130343
例3
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例4
image-20200422205243332
例5
image-20200422205329766
例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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例11
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例12
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例13
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例14
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例15
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例16
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例17
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例18
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例19
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例20
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例21
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例22
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例23
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\(=-2\tan \frac{\sqrt{x}}{2} + C\)

此题后面中间也可以使用1的代换，三角半角公式来做

例24
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例25
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例26
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例27

此题需要功底

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例28
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例29

此题需要功底

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例30
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例31
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例32
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例33
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例34
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例35
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例36
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例37
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例38
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例39
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例40
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例41
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例42
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例43
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例44
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例45
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例46

第一换元积分，然后分部积分

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例47

指数的这种变换要能想得到

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例48
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例49
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例50
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例51
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第二类换元积分法

无理转有理（不一定需要）
例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8

第二换元积分，然后有理分式积分

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例9
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例10
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平方和差转三角
例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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例11
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例12
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分部积分法

幂函数*指数函数的积分\(\int x^{n} \cdot e^{x} d x\)

例1
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幂函数*对数函数的积分\(\int x^{n} \cdot \ln x d x\)

例1
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例2

第一类换元积分+幂函数对数函数的积分

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例3
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幂函数*三角函数的积分\(\int x^{n} \cdot 三角函数 d x\)

这里的三角函数，对于正弦余弦，要求变到1次幂；对于正切/余切/sec/csc，要求是2次方

例1
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例2
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例3
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例4
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幂函数*反三角函数的积分\(\int x^{n} \cdot 反三角函数 d x\)

例1
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例2
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例3
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例4
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指数函数*正余弦函数的积分\(\int e^{a x} \times\left\{\begin{array}{l}\cos b x \\ \sin b x\end{array} d x\right.\)

例1
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指数函数*反三角函数的积分

例1

指数函数*反三角函数，并与简单无理式复合。

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sec或csc的n次幂的积分（奇次幂）

例1

sec或csc非奇数次幂的例子，直接计算

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例2

非奇数次幂的例子，直接计算

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例3
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对数复合三角的积分

例1
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有理分式积分

有理分式\(\int R(x) d x\)的积分

其中\(R(x)=\frac{P(x)}{a(x)}\)，而P(x)和Q(x)为多项式

如果P的次数小于于Q的次数，称其为真分式； 如果P的次数大于等于Q的次数，称其为假分式

为真分式

如果\(R(x)\)为真分式，R(x)分子不变，分母因式分解；然后拆成部分和的形式。

例1

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例2

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例3

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例4

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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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例11
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例12
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例13
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例14
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例15
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例16
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例17
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上面是换元法的答案，下面有理分式分解方法，没找到错在哪里

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\(R(x)\)为假分式

如果\(R(x)\)为假分式，要先转换成： 多项式+真分式

例1
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三角有理分式的积分

关于sinx,cosx的有理分式的积分，“万能代换”可解决这类间题。但随之而来的是一串复杂的计算，考研至今未见到过非要用它才能求这种不定积分的题对于这类题，一般采用下列办法处理：①化成同角；②尽量约分；③分母化成单项式； ④利用\(1=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\)或\(1=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}\)等等。由于三角公式众多，化简时有些技巧，考研中这类题出得很少，但也曾考过

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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注：其中 \(\quad \int \frac{1}{1+\sin x} d x\) \(=\int \frac{1-\sin x}{1-\sin ^{2} x} d x\) \(=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x\) \(=\tan x+\int \frac{d \cos x}{\cos ^{2} x}\) \(=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C\)

而结合万能公式和tan加法，又可化为\(\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+C\)

例6
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用万能公式解了一次，答案不一样，暂时找不到错误在哪里：

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例7
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例8
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下面使用万能公式算了一遍，答案不一样，暂时找不到错在哪里：

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例9
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例10
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例11
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和上一题比较，注意体会这类题型的灵活性

换元+分部积分+有理分式

例1

第二换元积分，分部积分

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例2

第一换元积分，分部积分

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例3
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image-20200428121829361
例4
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指数，有理分式，三角有理分式，简单无理式的混合或复合后的积分

例1

指数函数*反三角函数，并与简单无理式复合。

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例2
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例3
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image-20200425164844465
例4

例5

第一换元法+分部积分

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image-20200426183559031
例6
image-20200427095304645
例7
image-20200427142302335
image-20200427142326820
例8
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image-20200427192532106
image-20200427192557501
例9
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image-20200428110242105
image-20200428110257490
例10

三角有理分式和幂函数混合

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例11

无理式积分

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求分段函数的不定积分

解题思路本题的被积函数为绝对值所表示，

第一步，应将它写成分段表达式，可知它是连续的； 第二步，将此分段函数按分段求其原函数，并使在分界点处接成连续，

再加C便可得不定积分

例1
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image-20200424171015081
例2
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求带导数或带积分的不定积分

例1
image-20200426165344131
image-20200428191955630

比较不定积分的大小

例1
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