高等数学-一元积分学-定积分与反常积分

高等数学-一元积分学-定积分与反常积分

定积分与积分函数

求定积分

分部积分法求定积分

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8
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换元法求定积分

常规换元法
例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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例11
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例12
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例13
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例14
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例15
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解：换元法：\(设t=e^{-2x}\)，然后设\(u=\sqrt{1-t}\)求解

对调区间上下限的换元法
例1
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例2
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例3
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方法一:递推法

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方法二:对调区间上下限的换元

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倒数的换元法
例1
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根据奇偶性和周期性求定积分

根据区间的对称性、函数的奇偶性求定积分；根据函数的周期性求定积分

例1
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例2
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例3
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例4
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周期函数,平移上下限后可以使用华里士公式

例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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例11
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例12
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例13
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例14
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例15
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求分段函数的定积分

给f(x)为分段表达式，应按f(x)的分段，分段做定积分；由于积分的上限为x，所以应对x的范围作讨论才能选取分段

例1
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例2
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例3
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例6
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求三角函数的定积分

例1
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此题是\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)的推广

华里士公式：\(I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{lr}\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & \text { 当 } n \text { 为正偶数 } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, & \text { 当 } n \text { 为大于 } 1 \text { 的正奇数. }\end{array}\right.\) 即\(\left\{ \begin{aligned} & I_{n}=\frac{n-1}{n} I_{n-2} \\ & I_{0}=\frac{\pi}{2} \\ & I_{1}=1 \end{aligned}\right.\)

例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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求简单无理分式的定积分

定积分化简根式时要保留绝对值。（一般是三角替换的时候）

例1
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求含导数或变限函数的积分

带变限函数的积分有两种方法：可以化为2重积分，或者使用分部积分去掉一次积分

含导数的积分一般使用分部积分求解

例1
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例2

image-20200425170903289image-20200425170931003

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例3
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求带参带绝对值的定积分

例1
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根据积分确定函数

例1
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例2
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例3
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例4
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求变限积分函数

求变限积分

例1
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例2
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求含变限积分的极限

求极限

根据定积分定义求极限

分子齐次，分母齐次，使用定积分的定义来求极限。

分子或分母，有一个不齐，使用夹逼定理求极限

例1
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例2
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例3
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例4
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求含定积分的极限

例1
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求含变限积分的极限

例1
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例2
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例3
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变限积分求参数

例1
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变限积分函数求导数

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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变限积分函数求最值

例1
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定积分与原函数的存在性判断

例1
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函数存在原函数的前提条件是要连续。虽然不连续，但是只有有限个间断点，这样的函数是可积的（可以拆成几个连续的区间）。是否可导可根据定义或者左右导数存在且相等来看。

证明题

求证存在\(\xi\)使等式成立

零点定理求证存在\(\xi\)使等式成立
例1
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罗尔定理求证存在\(\xi\)使等式成立
例1
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例2
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泰勒公式证明存在\(\xi\)使等式成立
例1
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积分中值定理求证存在\(\xi\)使等式成立
例1
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例2
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变限积分函数证存在\(\xi\)使等式成立

注意,如果要证明的是开区间内存在点,使等式成立,则不能使用积分中值定理.积分中值定理的结论是闭区间内存在点,满足条件

要证明的是开区间内存在点,使等式成立,应设变限积分函数来证.

积分中值定理有开区间和闭区间两种题目，开区间的话用到的结论是积分中值定理的推广，要写过程，用拉格朗日证明，所以要写出变上限积分，在原函数之一的基础上进行拉格朗日证明，和拉格朗日一样最后取到开区间；闭区间的话就是积分中值定理本身，不用写出证明过程，但是本身证明用的是介值定理，所以积分中值定理本身是闭区间

问的是开区间不是拉格朗日就是罗尔，就看已知几个相等

例1
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例2
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例3
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例4
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变限积分及其导数的奇偶性、周期性

由F（x）的奇偶性，周期性推断∫（x）的相应性质，用到微分学的性质； 反过来，由f（x）的奇偶性、周期性，推断F（x）的相应性质，可能会想到用不定积分，但是不定积分只能用来作为运算，不能用来讨论性质，应该用变上限函数来表示f（x）的某个原函数，用它来讨论原函数的性质

结论：

f->F

奇函数的（变上限）积分是偶函数；偶函数仅当从0开始的（变上限）积分是奇函数。

F->f

原函数是奇函数，求导是偶函数；原函数是偶函数，求导是奇函数。

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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积分等式的证明

例1
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例2
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积分不等式的证明

积分的比较
例1
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例2
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变限积分函数单调性与单调区间的判断

一个带积分号的函数,和另一个不带积分号的函数的比较,有两种办法:

  • 用积分中值定理,将有积分号的化为无积分号的
  • 将没有积分号的套上积分号
例1
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例2
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积分不等式的证明
例1
image-20200504145425744
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
image-20200510232253632
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例7
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例8
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零点问题

零点问题,或者方程根的讨论

与微分学中类似，定积分与变限积分中也有零点问题处理的办法

  • 一是化成变限积分看成变限的函数，用微分学中讲到的办法
  • 二是利用积分中值定理
例1
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image-20200504162750994
例2
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反常积分

反常积分的识别

区间无限的反常积分:只要一看积分限有\(\infty\),便知这是无穷区间上的反常积分

无界函数的反常积分:般是看被积函数是否有使其分母为零的点。但这句话既不充分也不必要.

例1
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例2
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image-20200502154359833

反常积分的判敛及求解

通过计算来求解及判敛

例1
image-20200501120330982
例2
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例3

要想对无穷积分使用定积分在对称区间上的性质,首先要满足无穷积分收敛才行.

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例4
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image-20200501155011607
例5
image-20200501164436569
image-20200501164507820
例6
image-20200501165744990
例7
image-20200501170807882
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例8
image-20200502150424446
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例9
image-20200502152321698
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例10
image-20200502152856398

通过计算这两个积分可知都收敛,答案选A

例11
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image-20200502164928490
例12
image-20200502165257454
image-20200502165332642
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例13
image-20200507211941551
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例14
image-20200507212202476
image-20200507212127935
例15
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反常积分的非计算判敛方式(审敛)

例1

此题没弄懂.//TODO

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image-20200502215343444
例2

判别反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{4}+1}}\) 的收敛性. 解 \(\because\)当 \(x \in[1,+\infty)\) 时 \(0<\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}+1}}<\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}=\frac{1}{x^{4 / 3}}, p=\frac{4}{3}>1\) \(\therefore\) 反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{4}+1}}\) 收敛.

例3

判别反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{1+x^{2}}}\) 的收敛性. 解 \(\quad \because \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2} \cdot \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}=1, \quad p=2>1\) \(\therefore\) 所给反常积分收敛.(极限审敛法1)

例4

判别反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{x^{3 / 2}}{1+x^{2}} d x\) 的收敛性 \(\lim _{x \rightarrow+\infty} x \frac{x^{3 / 2}}{1+x^{2}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \sqrt{x}}{1+x^{2}}=+\infty\) 所给反常积分发散.（极限审敛法 1）

例5

判别反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x} d x\) 的收敛性. 解 \(\lim _{x \rightarrow+\infty} x \frac{\arctan x}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}>0\) \(\therefore\) 所给反常积分发散.(极限审敘法 1）

例6

判别反常积分 \(\int_{0}^{+\infty} e^{-a x} \sin b x d x(a, b\) 都是常数 a > 0) 的收敛性. 解 \(\quad \because | e^{-a x} \sin b x | \leq e^{-a x},\) 而 \(\int_{0}^{+\infty} e^{-a x} d x\) 收敘. \(\left[\because \int_{0}^{+\infty} e^{-a x} d x=\left[-\frac{1}{a} e^{-a x}\right]_{0}^{+\infty}=0-\left(-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a} \right]\) \(\therefore \int_{0}^{+\infty} |e^{-a x} \sin b x| d x\) 收敛. \(\quad(\text { 比较审敛法 } 1)\) \(\therefore \int_{0}^{+\infty} e^{-a x} \sin b x d x\) 收敛

例7

\(\quad\)判别反常积分 \(\int_{1}^{3} \frac{d x}{\ln x}\) 的收敛性. 解 \(\quad \because \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{\ln x}=+\infty \quad \therefore x=1\) 是瑕点 \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x-1) \frac{1}{\ln x}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x-1}{\ln x} \quad\left(\frac{0}{0}\right)=\) \(=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{\frac{1}{n}}(\text { 洛必达法则 })\) \(\begin{aligned} &=1>0 \end{aligned}\) ：反常积分\(\int_{1}^{3} \frac{d x}{\ln x}\) 发散. (极限审敛法2)

例8

\(\begin{aligned} &\begin{array}{l} \text {判别椭圆积分 } \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}} d x \text { 的收敛性 } \\ \text { 这里 }|k|<1 \end{array}\\ &\because \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}}=+\infty \quad \therefore x=1 \text { 是瑕点 }\\ &\because \lim _{x \rightarrow 1^{-}}(1-x)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}}\\ &=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{(1+x)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{2\left(1-k^{2}\right)}}, q=\frac{1}{2}<1\\ &\therefore \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2} x^{2}\right)}} d x \text { 收敘. } \quad(\text { 极限审敛法2 }) \end{aligned}\)

例9

判别反常积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x}} d x\) 的收敛性. 解 \(\sin \frac{1}{x}\) 在0的右半邻域内无界 \(\therefore x=0\) 是瑕点 \(\because |\frac{\sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x}} | \leq \frac{1}{\sqrt{x}},\) 而 \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x}}\) 收敛, \(\left[\because q=\frac{1}{2}<1\right]\) \(\therefore \int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x}} d x\) 收敛 \((\text { 比较审敛法2 }) \therefore \int_{0}^{1}| \frac{\sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x}}| d x\) 也收敛

例10
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例11

首先是要审敛，要发现这是个反常积分。

这里有四种方法，换元法，分部积分法，分子有理化，1的代换。都可以做出来，亮瞎眼。

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例12
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对泊松型积分和\(\Gamma\)函数的求解

例1
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例2
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例3
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例4

求 \(\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\) 解 由递推公式得： \(\begin{aligned} \Gamma\left(\frac{7}{2}\right) &=\frac{5}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \\ &=\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \\ &=\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \\ &=\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi}=\frac{15}{8} \sqrt{\pi} \end{aligned}\)

例5

用\(\Gamma\)函数表示积分 \(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{4}} d x\)

解 \(\quad \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{4}} d x \overset{\text {令 } t=x^{4}}{=} \quad \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \frac{1}{4} t^{-\frac{3}{4}} d t\) \(=\frac{1}{4} \int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{-\frac{3}{4}} d t\) \(=\frac{1}{4} \int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{\frac{1}{4}-1} d t\) \(=\frac{1}{4} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\)

例6
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