高等数学-一元微积分-脉络

极限与函数极限

微积分的基础是函数极限理论，也称无穷小理论。从趋于某个点的情况，研究附近的函数情况。

导数

用极限定义了函数的导函数，简称导数。

$y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

根据导函数定义可以求出常见函数（初等函数）的导函数形式。（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有确定的导函数形式）

微分

定义函数$y=f(x)$可微：$\mathrm{\Delta }x\to 0$时，有$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$，称函数$y(x)$可微。

实际上，上式两边同时除以$\mathrm{\Delta }x$取极限，可得$A=y^{\prime }(x)$，即： $\mathrm{\Delta }x\to 0$时，有$\mathrm{\Delta }y=y^{\prime }\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$，称函数$y(x)$可微。

函数差分$\mathrm{\Delta }y$的主要部分$A\mathrm{\Delta }x$称为函数的微分。记为$dy=Ax=y^{}x=y^{}dx$。

在导数章节，我们求出了常见函数（初等函数）的导函数形式。 又根据函数的微分$dy=y^{}dx$， 我们可以得到常见函数（初等函数）的微分。

原函数与不定积分

求函数$F(x)$的导函数$F^{\prime }(x)$的反问题：寻求一个可导函数$F(x)$，使它的导函数等于已知函数$f(x)$，即$F^{\prime }(x)=f(x)$。这样的函数$F(x)$称为已知函数的原函数。

没有其余条件限制的情况下，已知函数$f(x)$的原函数是一个函数系列$F(x)+C$，即$F(x)+C$都是$f(x)$的原函数。

实际上，$\mathrm{\Delta }F=F-F_0=\sum \mathrm{\Delta }{F}_i$，而当$\mathrm{\Delta }x$足够小时，可化为： $$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }F=F-F_0 \\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \mathrm{\Delta }{F}_i \\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum d{F}_i \\ =\int dF \end{gathered}$$ 其中的$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum$称为积分操作，取记号为$\int =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum$ 在微分章节，我们知道函数的微分$dF = F^{} d x $，\mathrm{则}$F = F - F_0 = dF = F^{} d x = f(x) d x$ 也即$\int F^{\prime }dx=F-F_0$

则我们可定义不定积分来表示$f(x)$的一系列原函数$F(x)+C$ ： $\int f(x)dx=F(x)+C$

即求函数的积分是求函数的微分的逆操作。

定积分

给定一定的边界条件（限制条件），就可以定出不定积分中的常数C。

FAQ

导数和积分是互逆关系,还是微分和积分是互逆关系呢?

  1.从字面意思上,微分和积分是互逆的.但是微分是不是一种运算? 
  2.从运算上,导数和积分是互逆的.那么这时(微分)有什么作用?

微分是一种运算，比如说x^2+1的微分记作：
d(x^2+1)=2xdx，也就是相当于把导数dy/dx=f'(x)，左边的分母dx乘到右边来，即得到微分公式：
dy=f'(x)dx
于是我们发现，如果将上式两边积分的话：
∫dy=∫f'(x)dx
也即y=∫f'(x)dx
另外再明确一点，积分分为定积分和不定积分，微分与不定积分是逆运算！
对于第二个问题，我们再明确，导数和微分是完全不同的两个概念，导数又称为微商，是dy/dx，也就是很小的函数值改变除以很小的自变量改变，而微分则是函数值的微小变化，可以用来求函数的近似值，比如说对如下近似公式：
(1+x)^n,当x<<1时，有如下近似：
(1+x)^n≈1+nx,事实上这可以由
Δy≈f'(x)Δx推导出来。