高等数学-一元微积分-脉络

极限与函数极限

微积分的基础是函数极限理论，也称无穷小理论。从趋于某个点的情况，研究附近的函数情况。

导数

用极限定义了函数的导函数，简称导数。

\(y^{\prime} = f^{\prime}(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{y(x) - y(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)

根据导函数定义可以求出常见函数（初等函数）的导函数形式。（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有确定的导函数形式）

微分

定义函数\(y=f(x)\)可微：\(\Delta x \rightarrow 0\)时，有\(\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)\)，称函数\(y(x)\)可微。

实际上，上式两边同时除以\(\Delta x\)取极限，可得\(A = y^{\prime}(x)\)，即： \(\Delta x \rightarrow 0\)时，有\(\Delta y = y^{\prime} \Delta x + o(\Delta x)\)，称函数\(y(x)\)可微。

函数差分\(\Delta y\)的主要部分\(A \Delta x\)称为函数的微分。记为$dy = A x = y^{} x = y^{} d x $。

在导数章节，我们求出了常见函数（初等函数）的导函数形式。 又根据函数的微分$dy = y^{} d x $， 我们可以得到常见函数（初等函数）的微分。

原函数与不定积分

求函数\(F(x)\)的导函数\(F^{\prime}(x)\)的反问题：寻求一个可导函数\(F(x)\)，使它的导函数等于已知函数\(f(x)\)，即\(F^{\prime}(x) = f(x)\)。这样的函数\(F(x)\)称为已知函数的原函数。

没有其余条件限制的情况下，已知函数\(f(x)\)的原函数是一个函数系列\(F(x)+C\)，即\(F(x)+C\)都是\(f(x)\)的原函数。

实际上，\(\Delta F = F - F_0 = \sum \Delta F_i\)，而当\(\Delta x\)足够小时，可化为： \(\Delta F = F - F_0 \\=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum \Delta F_i \\=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum d F_i \\= \int dF\) 其中的\(\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum\)称为积分操作，取记号为\(\int = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum\) 在微分章节，我们知道函数的微分$dF = F^{} d x \(， 则\)F = F - F_0 = dF = F^{} d x = f(x) d x$ 也即\(\int F^{\prime} d x = F - F_0\)

则我们可定义不定积分来表示\(f(x)\)的一系列原函数\(F(x)+C\) ： \(\int f(x)dx = F(x) + C\)

即求函数的积分是求函数的微分的逆操作。

定积分

给定一定的边界条件（限制条件），就可以定出不定积分中的常数C。

FAQ

导数和积分是互逆关系,还是微分和积分是互逆关系呢?

  1.从字面意思上,微分和积分是互逆的.但是微分是不是一种运算? 
  2.从运算上,导数和积分是互逆的.那么这时(微分)有什么作用?

微分是一种运算，比如说x^2+1的微分记作：
d(x^2+1)=2xdx，也就是相当于把导数dy/dx=f'(x)，左边的分母dx乘到右边来，即得到微分公式：
dy=f'(x)dx
于是我们发现，如果将上式两边积分的话：
∫dy=∫f'(x)dx
也即y=∫f'(x)dx
另外再明确一点，积分分为定积分和不定积分，微分与不定积分是逆运算！
对于第二个问题，我们再明确，导数和微分是完全不同的两个概念，导数又称为微商，是dy/dx，也就是很小的函数值改变除以很小的自变量改变，而微分则是函数值的微小变化，可以用来求函数的近似值，比如说对如下近似公式：
(1+x)^n,当x<<1时，有如下近似：
(1+x)^n≈1+nx,事实上这可以由
Δy≈f'(x)Δx推导出来。