高等数学-基础概念-函数与极限

数学分析/高等数学（数学系教材是数学分析，理工科教材是高等数学）是由微积分演进而来，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法。

数学分析（英语：mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容。

微积分学的研究对象是函数，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。

级数是研究函数的一种方法和工具，理论基础也是极限理论。通过函数展开成级数，研究函数在无穷多项和表示下的性质，以及进行数值计算。

综上，数学分析的研究对象是函数，数学分析的基本方法是极限的方法，或者说是无穷小分析。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。

此章节介绍函数与极限的相关概念与性质

映射

映射定义

设 \(X_{ }, Y\) 是两个非空集合,如果存在一个法则 \(f,\) 使得对 \(X\) 中每个元素x, 按法则 \(f,\) 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应,那么称 \(f\) 为从 X 到 Y 的映射， 记作\(f: X \rightarrow Y\) 其中 \(y\) 称为元素 \(x\) (在映射 \(f\) 下)的像,并记作 \(f(x)\), 即 而元素 x 称为元素 \(y\) ( 在映射 \(f\) 下 ) 的一个原像 ; 集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域, 记 作 \(D_{f},\) 即 $D_{f}=X ; $ \(X\) 中所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域, 记作 \(R_{f}\) 或\(f(X),\) 即\(R_{f}=f(X)=\{f(x) \mid x \in X\}\)

映射三要素

定义域、映射法则、值域。

映射的分类

按映射关系分类

设 \(f\) 是从集合 \(X\) 到集合 Y 的映射, 若 \(R_{f}=Y,\) 即 \(Y\) 中任一元素 \(y\) 都是 \(X\) 中某 元素的像,则称 \(f\) 为X 到 Y 上的映射或满射; 若对 X 中任意两个不同元素 \(x_{1} \neq\) \(x_{2},\) 它们的像 \(f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right),\) 则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射 ; 若映射 \(f\) 既是单射,又是满射,则称 \(f\) 为一一映射(或双射)。

按定义域与值域分类

映射又称为算子。根据集合 X、Y 的不同情形,在不同的数学分支中,映射有不同的惯用名称。 从非空集 X 到数集 Y 的映射又称为 X 上的泛函, 从非 空集 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换, 从实数集( 或其子集) X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 上的函数.

逆映射

设 \(f\) 是\(X\) 到 \(Y\) 的单射,则由定义, 对每个 \(y \in R_{f},\) 有 唯一的 \(x \in X,\) 适合\(f(x)=y .\) 于是,我们可定义一个从 \(R_{f}\) 到 \(X\) 的新映射 \(g,\) 即\(g: R_{f} \rightarrow X\) 对每个 \(y \in R_{f},\) 规定 \(g(y)=x,\) 这 \(x\) 满足 \(f(x)=y .\) 这个映射 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射, 记作 \(f^{-1}\) 其定义域 \(D_{f^{-1}}=R_{f},\) 值域 \(R_{f^{-1}}=X\)

单射才可能有逆映射

复合映射

设有两个映射\(g: X \rightarrow Y_{1}, \quad f: Y_{2} \rightarrow Z\) 其中 \(Y_{1} \subset Y_{2},\) 则 由 映射 \(g\) 和 \(f\) 可 以定出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则, 它将每个\(x \in X\) 映成 \(f[g(x)] \in Z .\) 显然,这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射,记作 \(f \circ g,\) 即\(f \circ g: X \rightarrow Z,(f \circ g)(x)=f[g(x)], x \in X\)

映射 g 和 \(f\) 构成复合映射的条件是: g 的值域 \(R_{B}\) 必 须包含在 \(f\) 的定义域内,即 \(R_{g} \subset D_{f} .\) 否则,不能构成复合映射. 由此可以知道,映 射 g 和 \(f\) 的 复 合 是有顺 序 的, \(f \circ g\) 有 意 义 并不 表 示 \(g \circ f\) 也 有 意 义. 即 使

函数的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对事物的规律性进行研究。

函数定义

设数集 \(D\subset R\),则称映射 \(f: D \rightarrow \mathbf{R}\) 为定义在 \(D\) 上的函数,通常简记为\(y=f(x), x \in D\) 其中 \(x\) 称为自变量, \(y\) 称为因变量, \(D\) 称为定义域, 记作 \(D_{f},\) 即 \(D_{f}=D .\)

函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在 R 内,因此构成函数的要素 是 :定义域 D 及对应法则 f.  如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么 这两个函数就是相同的,否则就是不同的.

某些函数的特性

单调性，奇偶性，周期性，有界性

奇偶性

奇函数x奇函数->偶函数；奇函数x偶函数->奇函数；偶函数x偶函数->偶函数

函数的分类

一些有特点的函数

分段函数，绝对值函数，取整函数，符号函数，狄里克雷函数，隐函数，参数式表示的函数，反函数，复合函数，初等函数

反函数

反函数属于逆映射。

设函数 \(f: D \rightarrow f(D)\) 是单射,则它存在逆映射 \(f^{-1}: f(D) \rightarrow D,\) 称此映射 \(f^{-1}\) 为函数\(f\)的反函数。

按此定义,对每个 \(y \in f(D),\) 有唯一的 \(x \in D,\) 使得 \(f(x)=y,\) 于是有\(f^{-1}(y)=x\)。 即反函数 \(f^{-1}\) 的对应法则是完全由函数 \(f\) 的对应法则所确定的.

直接函数\(y=f(x)\)与其反函数\(y=f^{-1}(x)\)的图像，是关于直线\(y=x\)对称的。

复合函数

复合函数属于复合映射的一种特例。

设函数 \(y=f(u)\) 的定义域为 \(D_{f},\) 函数 \(u=g(x)\) 的定义域为 \(D_g\),且其值域 \(R_{g} \subset D_{f},\) 则由下式确定 的函数\(y=f[g(x)], \quad x \in D_{g}\)称为由 函数 \(u=g(x)\) 与函数 \(y=f(u)\) 构成的复合 函数，它的定义域为 \(D_g\),变量 u 称为中间变量.

初等函数

基本初等函数

常值函数：C

幂函数：\(x^a\)

指数函数：\(a^x\)

对数函数：\(\log _{a} x\)

三角函数：\(\sin x, \cos x, \tan x\)

反三角函数： \(\arcsin x, x \in[-1,1]\) \(\arccos x, x \in[-1,1]\) \(\arctan x, x \in \mathbf{R}\) \(\operatorname{arccot} x, x \in \mathbf{R}\)

初等函数：由基本初等函数经过有限次加减乘除后获得的函数

函数的运算

可以定义函数的四则运算

极限

数列的极限\(\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A\)，函数的极限，无穷小，无穷大，无穷小的比较

极限是极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。比如，内接正多边形的边数越多，越接近圆。无穷多边形的面积，就是圆的面积。

数列的极限

当 n 无限增大时(即 \(n \rightarrow \infty\) 时 ) ,对 应的 \(x_{n}=f(n)\) 是否能无限接近于某个确定的数值？如果能够的话,这个数值等

数列的定义

如果按照某一法则，对每个 \(n \in \mathbf{N}_{+}\),对应着一个确定的 实数 x, 这些实数 x按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}, \cdots\)，就叫做数列，简记数列 \(\left\{x_{n}\right\} .\) 数列中的每一个数叫做数列的项, 第 n 项 \(x_{n}\) 叫做数列的一般项(或通项)

数列极限的定义

对于一个数列\(\{x_n\}\)，如果 n 无限增大时（即 \(n \rightarrow \infty\) 时）,对应的 \(x_{n}=f(n)\) 如果能无限接近于某个确定的数值S，那么称这个数列的极限为a，记作\(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a\)

而度量两个数\(a,b\)之间的接近程度，可以用两个数差的绝对值\(|a-b|\)。所以有极限的如下定义：

定义：设 \(\left\{x_{n}\right\}\) 为一数列 , 如果存在常数 \(a,\) 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ( 不论它 多么小）, 总存在正整数 N, 使得当 n>N 时,不等式\(\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\)都成立, 那么就称常数 a 是数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 的极限,或者称数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 收敛于 \(a,\) 记为\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a\)或\(x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)\) 如果不存在这样的常数a，就称数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 没有极限，或者称数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 发散。

即数列极限\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists\) 正整数 N, 当\(n>N\) 时 \(,\) 有 \(\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\)

收敛数列的性质

（收敛数列极限的唯一性）如果数列\(\left\{x_{n}\right\}\) 收敛，那么它的极限唯一。 （收敛数列的有界性） 如果数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 收敛, 那么数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 一定有界. （收敛数列的保号性）如果 \(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a,\) 且 \(a>0(\) 或 \(a<0),\) 那么存在正 整数 \(N,\) 当 \(n>N\) 时,都有 \(x_{n}>0 （\) 或 \(\left.x_{n}<0\right)\) （收敛数列保号性的推论）如果数列 \(\left\{x_{n}\right\}\)从某项起有 \(x_{n} \geqslant 0\left(\right.\) 或 \(\left.x_{n} \leqslant 0\right),\) 且 \(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a,\) 那么 $ a $\((\) 或 \(a \leqslant 0)\) （收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 收敛于 \(a,\) 那么它 的任一子数列也收敛，且极限也是 \(a\)

函数的极限

函数极限是数列极限的推广。数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 可看作自变量为 \(n\) 的函数。

函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数称作在在这一变化过程中函数的极限。 只是函数的自变量的变化过程，除了可以趋于无穷，还可以趋于某个有限值。

\(x \rightarrow x_0\)时函数极限的定义

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一去心邻域内有定义. 如果存在 常数 \(A\), 对 于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ( 不 论 它多 么小)， 总存在正数 \(\delta,\) 使得 当 \(x\) 满足不等 式\(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时， 对 应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\), 那么常数 A 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的极限,记作\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A \quad\) 或 \(f(x) \rightarrow A\left(\text{当} x \rightarrow x_{0}\right)\)

左极限、右极限、单侧极限的定义略

\(x \rightarrow \infty\)时函数极限的定义

设函数 \(f(x)\) 当 \(|x|\) 大于某一正数 时有定义. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (不论它多 么小）， 总 存 在 着 正 数 X， 使 得 当 x 满 足 不 等 式 \(|x|>X\) 时 \(,\) 对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\) 那么常数 A 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow \infty\) 时的极限, 记作\(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A \quad\) 或 \(\quad f(x) \rightarrow A \quad(\stackrel{\text { 当 }}{x} x \rightarrow \infty)\)

注意，\(x \rightarrow \infty\)时，实际上需要分\(+\infty\)和\(-\infty\)两种情况，分别讨论两种情况下极限是否存在

函数极限的性质

函数极限可看作数列极限的推广，函数有极限时的性质，可以类比数列有极限时存在性质

（函数极限的唯一性） 如果 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 存在,那么这极限唯一。

（函数极限的局部有界性） 如果 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A,\) 那么存在常数 \(M>0\) 和 \(\delta>0,\) 使得 当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时, 有 \(|f(x)| \leqslant M\)

（函数极限的局部保号性）如果 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A,\) 且 \(A>0 （\) 或 \(\left.A<0\right)\),那么 存在常数 \(\delta>0,\) 使得当 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时,有 \(f(x)>0 （\) 或 \(\left.f(x)<0\right)\)

（函数极限的局部保号性的推论）如果在 \(x_{0}\) 的某去心邻域内 \(f(x) \geqslant 0(\) 或 \(f(x) \leqslant 0),\) 而且 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A,\) 那么\(A \geqslant 0\) ( 或 \(A \leqslant 0)\)

（函数极限与数列极限的关系） 如果极限 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 存在， \(x_{n}\) 为函 数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_{0}\) 的数列,且满足 \(: x_{n} \neq x_{0}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)\),那么相应的 函数值数列 \(\left\{f\left(x_{n}\right) \right\}\) 必收敛 \(,\) 且 \(\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) .\)

无穷小的概念

无穷小和极限一般配套使用，见无穷小和极限的关系、洛必达法则、无穷小替换等

无穷小的定义

如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_{0}\) （或 \(x \rightarrow \infty\) ) 时的极 限 为 零, 那么 称 函 数 定义\(f(x)\) 为 当 \(x \rightarrow x_{0}(\) 或 \(x \rightarrow \infty)\) 时的无穷小. 特别地，以零为极限的数列 $ {x_{n}}$ 称为 $n $时的无穷小.

无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程 \(x \rightarrow x_{0}(\) 或 \(x \rightarrow \infty)\) 中,函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x)=A+\alpha,\) 其中 \(\alpha\) 是无穷小.

无穷大的定义

设函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某一去 心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时 定 有定义）.如果对于任意给定的正数 M（不论它多么大）,总存在正数 \(\delta\) (或正数\(X),\) 只要 \(x\) 适合不等式 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta(\) 或 \(|x|>X),\) 对 应的 函数值 \(f(x)\) 总 满足不等式\(|f(x)|>M\)，那么称函数 \(f(x)\) 是当 \(x \rightarrow x_{0}(\) 或 \(x \rightarrow \infty)\) 时的无穷大.

无穷小和无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中,如果 \(f(x)\) 为无穷大,那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为 无 穷小；反之,如果 \(f(x)\) 为无穷小,且 \(f(x) \neq 0,\) 那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大.

无穷小的比较

我们知道,两个无穷小的和 ,差及乘积仍旧是无穷小。 关于两个无穷小的商,却会出现不同的情况。两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”。

设\(\lim _{x \rightarrow *} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A\)， 若\(A \neq 0\)，称\(x \rightarrow *\)时\(\alpha (x)\)与\(\beta (x)\)为同阶无穷小。 若\(A = 1\)，称\(x \rightarrow *\)时\(\alpha (x)\)与\(\beta (x)\)为等价无穷小，记\(\alpha(x) \sim \beta(x)\)。 若\(A = 0\)，称\(x \rightarrow *\)时\(\alpha (x)\)是\(\beta (x)\)的高阶无穷小，记\(\alpha(x)=o(\beta(x))\)。 若\(\lim _{x \rightarrow *} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infin\)，称\(x \rightarrow *\)时\(\alpha (x)\)是\(\beta (x)\)的低阶无穷小。

设\(\lim _{x \rightarrow *} f(x)=\infty\)，则\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{f(x)}= 0\)

（等价无穷小的充分必要条件）\(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小的充分必要条件为\(\beta=\alpha+o(\alpha)\)

（等价无穷小定理：在计算极限时非常有用）设 \(\alpha \sim \tilde{\alpha}, \beta \sim \widetilde{\beta},\) 且 \(\lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\) 存在 \(,\) 则\(\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\)

等价无穷小

等价无穷小替换

若\(x \rightarrow *\)时有\(\alpha(x) \sim a(x), \beta(x) \sim b(x)\)，则\(\lim _{x \rightarrow*} \frac{\alpha(x) \gamma(x)}{\beta(x) \delta(x)}=\lim _{x \rightarrow *} \frac{a(x) \gamma(x)}{b(x) \delta(x)}\)

注意，极限加法和极限部分乘法不能使用等价无穷小替换

常见的等价无穷小见等价无穷小一节

常见的等价无穷小

\(x\rightarrow 0\) ，有如下等价无穷小

泰勒公式替换（使用麦克劳林公式替换）

设\(f(x)\)在\(x=x_0\)处存在n阶导数，则有公式\(f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} f^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\)，称为\(f(x)\)在\(x=x_0\)处展开的具有佩亚诺余项的n阶泰勒公式，其中\(R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\)称为佩亚诺余项。特殊的，如果\(x_0=0\),即在0处展开的佩亚诺余项泰勒公式又称麦克劳林公式。

常见的等价无穷小也可以看作将原式是展开到1阶的泰勒展开。

几个常用函数在x=0处展开的佩亚诺余项泰勒公式（常见的麦克劳林公式）如下：

极限性质

极限四则运算法则

两个（或有限个）无穷小的和是无穷小

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

函数极限的四则运算：如果\(\lim u(x)=A, \lim v(x)=B\)，那么有： \(\lim [u(x) \pm v(x)]=\lim u(x) \pm \lim v(x)=A \pm B ;\) \(\lim _{x \rightarrow*}(u(x) v(x))=\left(\lim _{x \rightarrow*} u(x)\right)\left(\lim _{x \rightarrow*} v(x)\right)=A B\) \(\lim _{x \rightarrow*}(c u(x))=c \lim _{x \rightarrow*} u(x)=c A\) \(\lim _{x \rightarrow*} \frac{u(x)}{v(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow *} u(x)}{\lim _{x \rightarrow*} v(x)}=\frac{A}{B}\)

数列极限的四则运算：与函数极限的四则运算一致。

函数极限减法的推论：如果 \(\varphi(x) \geqslant \psi(x),\) 而 \(\lim \varphi(x)=A, \lim \psi(x)=B,\) 那么 $ A B$

洛必达法则

复合函数极限运算法则

前提： 1）函数\(y=f(g(x))\)是由函数\(u=g(x)\)和函数\(y=f(u)\)复合而成 2）\(y=f(g(x))\)在点\(x_0\)的去心邻域内有定义 条件： 1）\(\lim _{\mathfrak{u} \rightarrow \mathfrak{u}_{0}} \mathrm{f}(\mathrm{u})=A\) 2）\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=u_{0}\) 3）存在\(\delta_0 >0\)，当\(\mathbf{x} \in \mathring{U}{a}\left(\mathbf{x}_{0}, \delta_{0}\right)\)时，有\(g(x) \neq u_{0}\) 结论： 则\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f[g(x)]=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=A\)

数列极限的性质

即数列极限存在时的一些必要条件

（唯一性、有界性、保号性以及推论、收敛数列与子数列关系）

函数极限性质

即函数极限存在时的一些必要条件

（唯一性、局部有界性、局部保号性以及推论、数列极限与函数极限关系）

极限存在准则

讲极限存在的充分与充分必要条件。

（数列极限存在充分条件：夹逼准则）如果数列 \(\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n} \right\}\) 及 \(\left\{z_{n} \right\}\) 满足下列条件： 1）从某项起,即 \(\exists n_{0} \in \mathbf{N}_{+},\) 当 \(n>n_{0}\) 时 \(,\) 有\(y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n}\)； 2）\(\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a\) 那么数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) 的极 限存在, \(\operatorname{llim}_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a\)

（函数极限存在的充分条件：夹逼准则）如果： 1）当 \(x \in \mathring{U}\left(x_{0}, r\right)(\) 或 \(|x|>M)\) 时\(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\)； 2）\(\lim _{x \rightarrow x_{0} \atop(x \rightarrow \infty)} g(x)=A, \lim _{x \rightarrow x_{0} \atop(x \rightarrow \infty)} h(x)=A\) 那么 \(\lim _{x \rightarrow x_{0} \atop(x \rightarrow \infty)} f(x)\) 存在,且等于 \(A\)

（数列极限存在的充分条件：单调有界）单调有界数列必有极限。

（函数极限存在的充分条件：单调有界）设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某个左邻域内单调并且有界,则 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\)的左极限 \(f\left(x_{0}^{-}\right)\) 必定存在.

（数列收敛的充分必要条件：柯西极限存在准则）对于任意给定的正数 \(\varepsilon,\) 存在正整数 \(N,\) 使得 当 \(m>N, n>N\) 时, 有\(\left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon\) 参考数列极限的定义，会发现，数列极限的定义和柯西极限准则其实是差不多的。

极限的计算

计算函数、数列的极限，可以借助极限的定义、性质、运算法则、等价替换、洛必达法则、泰勒公式替换、复合函数求极限、特殊极限定义、化为对数形式等方法求得。

大体上的极限计算过程： 1）代入对应的点，判断是否可直接计算出极限。否则为7种待定型。 2）如果能直接计算极限，代入计算 3）如果是待定型，根据其待定型类型，试用对应的方法求解， 4）如果无法根据待定型求解，考虑拆分为多个极限相加或相乘、或者考虑特殊极限定义、夹逼定理和泰勒公式等方法

待定型求极限

共七种待定型，以下是一般解题思路，若无法根据待定型解题，则考虑泰勒展开和夹逼定理等

\(\frac{0}{0}\)型、\(\frac{\infty}{\infty}\)型

• 常用洛必达法则
• 因式分解或者根式有理化+极限运算法则/连续函数求极限
• 等价无穷小
• 变量替换（洛必达反而更复杂，考虑变量替换）

\(\infty - \infty\)型求极限

• 通分，化为\(\frac{0}{0}\)
• 根式有理化，化为\(\frac{0}{0}\)
• 变量替换

\(0\cdot \infty\)型求极限

• 乘一个数等于处以一个数的倒数，化为\(\frac{0}{0}\)型、\(\frac{\infty}{\infty}\)型

\(1^\infty\)型、\(0^0\)型、\(\infty^0\)型求极限

• 凑\(\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)
• 将\(u(x)^{v(x)}\)化成指数形式\(u(x)^{v(x)}=e^{v(x) \ln (x)}\)

特殊极限定义

\(\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}\)这是自然对数的定义

\(\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)，要求\(f(x)\)在[0,1]上连续。这是积分的定义

\(x^{m}+x^{k} \sim x^{m},(m>k>0)\)

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1\)

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1\)

\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\delta}(\ln x)^{k}=0\)

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\delta x}=0\)

已知极限求其他

已知极限求参数

• 带参数求一下极限，各种求极限的方法见极限的计算一节，将得出的结果与已知比较
• 若只说明极限存在，则在求极限的过程中注意参数应满足的条件

已知极限求另一极限

• 利用极限和无穷小的关系：\(\lim {f(x) }= A\)，则\(f(x)=A+\alpha\)求出\(f(x)\)进而代入另一个极限中
• 将欲求极限凑成用已知极限表示的形式

含有绝对值，取整函数，或为分段函数求极限

从正负两个方向分别求极限

求数列的极限

n个因式的积的极限，取对数可以变成n项和的形式，

n项和用公式或者积分定义等方法求解

以递推形式给出的数列，求极限常用单调有界准则和夹逼定理

求以极限定义的函数的表达式，一般用夹逼定理求解

函数的连续性

连续与间断的概念

增量的定义

设变量 u 从它的一个初值 \(u_{1}\) 变到终值 \(u_{2},\) 终值与初值的差 \(u_{2}-u_{1}\) 就叫做脚 u 的增量,记作 \(\Delta u\),即\(\Delta u=u_{2}-u_{1}\)

函数在某点连续的定义

定义1：设 函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一邻域内有定义, 如果\(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0\)那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续.

（即自变量增量趋于0，函数增量也趋于0，称为连续）

定义2：设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一邻域 内有定义,如果\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\)，那么就称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续.

（定义2的极限式两边各减一个\(f(x_0)\)，就变到了定义1，所以两个定义意思式相同的）

（左连续/右连续定义略）

函数在区间上连续的定义

在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在区间上连续。 比如函数在(a,b)内，[a,b]上连续

函数在区间上一致连续的定义

定义：设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义. 如果对于任意给定的正数 \(\varepsilon\),总存在（同一个）正数 \(\delta,\) 使得对于区间$ I$ 上的任意两点 \(x_{1}, x_{2},\) 当 \(\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\) 时, \(,\) 有\(\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon\)，那么称函数 \(f(x)\) 在区间 I 上一致连续.

一致连续性表示,不论在区间 I 的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.

如果函数 \(f(x)\) 在区间 I 上一致连续,那么 \(f(x)\) 在区间 I 上也是连续的。反之不一定成立。

(一致连续性定理) 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 [ a,b]上连续, 那么它 在该区间上一致连续.

函数间断点的定义

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某去心邻域内有定义，但是在\(x_0\)点不连续，那么点 \(x_{0}\) 称为 函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点. 具体的讲，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某去心邻域内有定义，如下3种情况任一都是间断点： （1）在 \(x=x_{0}\) 没有定义 （2）虽在 \(x=x_{0}\) 有定义, 但 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 不存在 （3）虽在 \(x=x_{0}\) 有定义，且 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 存在 \(,\) 但 \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \neq f\left(x_{0}\right)\)

第一类间断点

设\(f(x)\)在\(x=x_0\)的某去心邻域内有定义，且\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\)存在，但\(f(x_0)\)无定义，或者虽有定义，但是与\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\)不相等，称\(x=x_0\)为可去间断点

设\(f(x)\)在\(x=x_0\)的某去心邻域内有定义，\(\lim _{x \rightarrow x_{0+}} f(x)\)和\(\lim _{x \rightarrow x_{0-}} f(x)\)都存在，但不相等，称\(x=x_0\)为跳跃间断点

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点

第二类间断点

设\(f(x)\)在\(x=x_0\)的某去心邻域内有定义，\(\lim _{x \rightarrow x_{0+}} f(x)\)和\(\lim _{x \rightarrow x_{0-}} f(x)\)至少有一个不存在，称\(x=x_0\)为\(f(x)\)的第二类间断点

连续函数的运算性质

连续函数的四则运算仍连续

设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续,则 它们的和（差 ) \(f \pm g\), 积 \(f \cdot g\) 及商\(\frac{f}{g}\left(\right.\) 当 \(g\left(x_{0}\right) \neq 0\) 时 \()\) 都在点 \(x_{0}\) 连续.

反函数的连续性

如果函数 \(y=f(x)\) 在区间 \(I_{x}\) 上单调增加（或单调减少）且连续,那么它的反函数 \(x=f^{-1}(y)\) 也在对应的区间 \(I_{y}=\left\{y \mid y=f(x), x \in I_{x}\right\}\) 上单调增加（或单 调减少）且连续。

复合函数的连续性

设函数 \(y=f[g(x)]\) 由 函数 \(u=g(x)\) 与函数 \(y=f(u)\) 复 合而成，\(U^{\circ}\left(x_{0}\right) \subset D_{f \circ g}\) 若 \(\operatorname{limg}_{x \rightarrow x_{0}}(x)=u_{0},\) 而 函数 \(y=f(u)\) 在 \(u=u_{0}\) 连 续 \(,\) 则\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f[g(x)]=\lim _{u \rightarrow u_{0}} f(u)=f\left(u_{0}\right)\)

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

闭区间上连续函数的定理或性质

有界性定理

函数在闭区间连续 \(\Rightarrow\) 一定有界（有界性定理）

最值定理

函数在闭区间连续 \(\Rightarrow\) 一定有最大值与最小值（最值定理）

介值定理

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 [ a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值\(f(a)=A\) 及 \(f(b)=B\)，则 对于 A 与 B 之间的任意一个数 \(C,\) 在开区间 ( \(a, b)\) 内至少有一点 \(\xi,\) 使得\(f(\xi)=C \quad(a<\xi<b)\)

推论：函数在闭区间[a,b]连续，设\(\mu\)满足\(m \leqslant \mu \leqslant M\)，m与M是\(f(x)\)在[a,b]上的最小、最大值， \(\Rightarrow\) 闭区间至少存在一点\(\delta \in [a,b]\)，使得\(f(\xi)=\mu\) （介值定理）

零点定理

函数在闭区间连续，若\(f(a) f(b)<0\)， \(\Rightarrow\) 开区间至少存在一点\(\xi \in(a, b)\)，使\(f(\xi)=0\) （零点定理）

一致连续性定理

如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 [ a,b]上连续, 那么它 在该区间上一致连续.

讨论函数的间断与连续

复合函数的连续性

基本初等函数的连续性

初等函数的连续性

由极限定义的函数的连续性

已知连续求参数

一般是分段函数，函数连续则在分段点左极限等于右极限