高等数学-基础概念-函数与极限

数学分析/高等数学（数学系教材是数学分析，理工科教材是高等数学）是由微积分演进而来，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法。

数学分析（英语：mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容。

微积分学的研究对象是函数，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。

级数是研究函数的一种方法和工具，理论基础也是极限理论。通过函数展开成级数，研究函数在无穷多项和表示下的性质，以及进行数值计算。

综上，数学分析的研究对象是函数，数学分析的基本方法是极限的方法，或者说是无穷小分析。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。

此章节介绍函数与极限的相关概念与性质

映射

映射定义

设 $X_{},Y$ 是两个非空集合,如果存在一个法则 $f,$ 使得对 $X$ 中每个元素x, 按法则 $f,$ 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应,那么称 $f$ 为从 X 到 Y 的映射， 记作$f:X\to Y$ 其中 $y$ 称为元素 $x$ (在映射 $f$ 下)的像,并记作 $f(x)$, 即 而元素 x 称为元素 $y$ ( 在映射 $f$ 下 ) 的一个原像 ; 集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域, 记 作 $D_f,$ 即 $D_f=X;$ $X$ 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域, 记作 $R_f$ 或$f(X),$ 即$R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$

映射三要素

定义域、映射法则、值域。

映射的分类

按映射关系分类

设 $f$ 是从集合 $X$ 到集合 Y 的映射, 若 $R_f=Y,$ 即 $Y$ 中任一元素 $y$ 都是 $X$ 中某 元素的像,则称 $f$ 为X 到 Y 上的映射或满射; 若对 X 中任意两个不同元素 $x_1\ne$ $x_2,$ 它们的像 $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right),$ 则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射 ; 若映射 $f$ 既是单射,又是满射,则称 $f$ 为一一映射(或双射)。

按定义域与值域分类

映射又称为算子。根据集合 X、Y 的不同情形,在不同的数学分支中,映射有不同的惯用名称。 从非空集 X 到数集 Y 的映射又称为 X 上的泛函, 从非 空集 X 到它自身的映射又称为 X 上的变换, 从实数集( 或其子集) X 到实数集 Y 的映射通常称为定义在 X 上的函数.

逆映射

设 $f$ 是$X$ 到 $Y$ 的单射,则由定义, 对每个 $y\in R_f,$ 有 唯一的 $x\in X,$ 适合$f(x)=y.$ 于是,我们可定义一个从 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g,$ 即$g:R_f\to X$ 对每个 $y\in R_f,$ 规定 $g(y)=x,$ 这 $x$ 满足 $f(x)=y.$ 这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射, 记作 $f^{-1}$ 其定义域 $D_{f^{-1}}=R_f,$ 值域 $R_{f^{-1}}=X$

单射才可能有逆映射

复合映射

设有两个映射$g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z$ 其中 $Y_1\subset Y_2,$ 则 由 映射 $g$ 和 $f$ 可 以定出一个从 $X$ 到 $Z$ 的对应法则, 它将每个$x\in X$ 映成 $f[g(x)]\in Z.$ 显然,这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射,记作 $f\circ g,$ 即$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$

映射 g 和 $f$ 构成复合映射的条件是: g 的值域 $R_B$ 必 须包含在 $f$ 的定义域内,即 $R_g\subset D_f.$ 否则,不能构成复合映射. 由此可以知道,映 射 g 和 $f$ 的 复 合 是有顺 序 的, $f\circ g$ 有 意 义 并不 表 示 $g\circ f$ 也 有 意 义. 即 使

函数的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对事物的规律性进行研究。

函数定义

设数集 $D\subset R$,则称映射 $f:D\to \mathbf{R}$ 为定义在 $D$ 上的函数,通常简记为$y=f(x),x\in D$ 其中 $x$ 称为自变量, $y$ 称为因变量, $D$ 称为定义域, 记作 $D_f,$ 即 $D_f=D.$

函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在 R 内,因此构成函数的要素 是 :定义域 D 及对应法则 f.  如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么 这两个函数就是相同的,否则就是不同的.

某些函数的特性

单调性，奇偶性，周期性，有界性

奇偶性

奇函数x奇函数->偶函数；奇函数x偶函数->奇函数；偶函数x偶函数->偶函数

函数的分类

一些有特点的函数

分段函数，绝对值函数，取整函数，符号函数，狄里克雷函数，隐函数，参数式表示的函数，反函数，复合函数，初等函数

反函数

反函数属于逆映射。

设函数 $f:D\to f(D)$ 是单射,则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D)\to D,$ 称此映射 $f^{-1}$ 为函数$f$的反函数。

按此定义,对每个 $y\in f(D),$ 有唯一的 $x\in D,$ 使得 $f(x)=y,$ 于是有$f^{-1}(y)=x$。 即反函数 $f^{-1}$ 的对应法则是完全由函数 $f$ 的对应法则所确定的.

直接函数$y=f(x)$与其反函数$y=f^{-1}(x)$的图像，是关于直线$y=x$对称的。

复合函数

复合函数属于复合映射的一种特例。

设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f,$ 函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$,且其值域 $R_g\subset D_f,$ 则由下式确定 的函数$y=f[g(x)],x\in D_g$称为由 函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 构成的复合 函数，它的定义域为 $D_g$,变量 u 称为中间变量.

初等函数

基本初等函数

常值函数：C

幂函数：$x^a$

指数函数：$a^x$

对数函数：${\log }_{a}x$

三角函数：$\sin x,\cos x,\tan x$

反三角函数： $\arcsin x,x\in [-1,1]$ $\arccos x,x\in [-1,1]$ $\arctan x,x\in \mathbf{R}$ $\mathrm{arccot}x,x\in \mathbf{R}$

初等函数：由基本初等函数经过有限次加减乘除后获得的函数

函数的运算

可以定义函数的四则运算

极限

数列的极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=A$，函数的极限，无穷小，无穷大，无穷小的比较

极限是极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。比如，内接正多边形的边数越多，越接近圆。无穷多边形的面积，就是圆的面积。

数列的极限

当 n 无限增大时(即 $n\to \mathrm{\infty }$ 时 ) ,对 应的 $x_n=f(n)$ 是否能无限接近于某个确定的数值？如果能够的话,这个数值等

数列的定义

如果按照某一法则，对每个 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$,对应着一个确定的 实数 x, 这些实数 x按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列$x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n,\cdots$，就叫做数列，简记数列 $\left\{x_n\right\}.$ 数列中的每一个数叫做数列的项, 第 n 项 $x_n$ 叫做数列的一般项(或通项)

数列极限的定义

对于一个数列$\{x_n\}$，如果 n 无限增大时（即 $n\to \mathrm{\infty }$ 时）,对应的 $x_n=f(n)$ 如果能无限接近于某个确定的数值S，那么称这个数列的极限为a，记作$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$

而度量两个数$a,b$之间的接近程度，可以用两个数差的绝对值$|a-b|$。所以有极限的如下定义：

定义：设 $\left\{x_n\right\}$ 为一数列 , 如果存在常数 $a,$ 对于任意给定的正数 $\epsilon$ ( 不论它 多么小）, 总存在正整数 N, 使得当 n>N 时,不等式$|x_n-a|<\epsilon$都成立, 那么就称常数 a 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限,或者称数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a,$ 记为$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$或$x_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$ 如果不存在这样的常数a，就称数列 $\left\{x_n\right\}$ 没有极限，或者称数列 $\left\{x_n\right\}$ 发散。

即数列极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }$ 正整数 N, 当$n>N$ 时 $,$ 有 $|x_n-a|<\epsilon$

收敛数列的性质

（收敛数列极限的唯一性）如果数列$\left\{x_n\right\}$ 收敛，那么它的极限唯一。 （收敛数列的有界性） 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 那么数列 $\left\{x_n\right\}$ 一定有界. （收敛数列的保号性）如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a,$ 且 $a>0($ 或 $a<0),$ 那么存在正 整数 $N,$ 当 $n>N$ 时,都有 $x_n>0（$ 或 $x_n<0)$ （收敛数列保号性的推论）如果数列 $\left\{x_n\right\}$从某项起有 $x_n⩾0($ 或 $x_n⩽0),$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a,$ 那么 $a$$($ 或 $a⩽0)$ （收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a,$ 那么它 的任一子数列也收敛，且极限也是 $a$

函数的极限

函数极限是数列极限的推广。数列 $\left\{x_n\right\}$ 可看作自变量为 $n$ 的函数。

函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数称作在在这一变化过程中函数的极限。 只是函数的自变量的变化过程，除了可以趋于无穷，还可以趋于某个有限值。

$x\to x_0$时函数极限的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义. 如果存在 常数 $A$, 对 于任意给定的正数 $\epsilon$ ( 不 论 它多 么小)， 总存在正数 $\delta ,$ 使得 当 $x$ 满足不等 式$0<|x-x_0|<\delta$ 时， 对 应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$, 那么常数 A 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限,记作$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(\text{当}x\to x_0)$

左极限、右极限、单侧极限的定义略

$x\to \mathrm{\infty }$时函数极限的定义

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数 时有定义. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 $\epsilon$ (不论它多 么小）， 总 存 在 着 正 数 X， 使 得 当 x 满 足 不 等 式 $|x|>X$ 时 $,$ 对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式$|f(x)-A|<\epsilon$ 那么常数 A 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限, 记作$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(\stackrel{\text{ 当 }}{x}x\to \mathrm{\infty })$

注意，$x\to \mathrm{\infty }$时，实际上需要分$+\mathrm{\infty }$和$-\mathrm{\infty }$两种情况，分别讨论两种情况下极限是否存在

函数极限的性质

函数极限可看作数列极限的推广，函数有极限时的性质，可以类比数列有极限时存在性质

（函数极限的唯一性） 如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在,那么这极限唯一。

（函数极限的局部有界性） 如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A,$ 那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0,$ 使得 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, 有 $|f(x)|⩽M$

（函数极限的局部保号性）如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A,$ 且 $A>0（$ 或 $A<0)$,那么 存在常数 $\delta >0,$ 使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时,有 $f(x)>0（$ 或 $f(x)<0)$

（函数极限的局部保号性的推论）如果在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x)⩾0($ 或 $f(x)⩽0),$ 而且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A,$ 那么$A⩾0$ ( 或 $A⩽0)$

（函数极限与数列极限的关系） 如果极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在， $x_n$ 为函 数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列,且满足 $:x_n\ne x_0(n\in {\mathbf{N}}_{+})$,那么相应的 函数值数列 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 必收敛 $,$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x).$

无穷小的概念

无穷小和极限一般配套使用，见无穷小和极限的关系、洛必达法则、无穷小替换等

无穷小的定义

如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ （或 $x\to \mathrm{\infty }$ ) 时的极 限 为 零, 那么 称 函 数 定义$f(x)$ 为 当 $x\to x_0($ 或 $x\to \mathrm{\infty })$ 时的无穷小. 特别地，以零为极限的数列 $x_n$ 称为 $n$时的无穷小.

无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程 $x\to x_0($ 或 $x\to \mathrm{\infty })$ 中,函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha ,$ 其中 $\alpha$ 是无穷小.

无穷大的定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去 心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时 定 有定义）.如果对于任意给定的正数 M（不论它多么大）,总存在正数 $\delta$ (或正数$X),$ 只要 $x$ 适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta ($ 或 $|x|>X),$ 对 应的 函数值 $f(x)$ 总 满足不等式$|f(x)|>M$，那么称函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0($ 或 $x\to \mathrm{\infty })$ 时的无穷大.

无穷小和无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中,如果 $f(x)$ 为无穷大,那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为 无 穷小；反之,如果 $f(x)$ 为无穷小,且 $f(x)\ne 0,$ 那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大.

无穷小的比较

我们知道,两个无穷小的和 ,差及乘积仍旧是无穷小。 关于两个无穷小的商,却会出现不同的情况。两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”。

设$\underset{x\to \ast }{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=A$， 若$A\ne 0$，称$x\to \ast$时$\alpha (x)$与$\beta (x)$为同阶无穷小。 若$A=1$，称$x\to \ast$时$\alpha (x)$与$\beta (x)$为等价无穷小，记$\alpha (x)\sim \beta (x)$。 若$A=0$，称$x\to \ast$时$\alpha (x)$是$\beta (x)$的高阶无穷小，记$\alpha (x)=o(\beta (x))$。 若$\underset{x\to \ast }{lim}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\text{infin}$，称$x\to \ast$时$\alpha (x)$是$\beta (x)$的低阶无穷小。

设$\underset{x\to \ast }{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{f(x)}=0$

（等价无穷小的充分必要条件）$\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件为$\beta =\alpha +o(\alpha )$

（等价无穷小定理：在计算极限时非常有用）设 $\alpha \sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta },$ 且 $lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$ 存在 $,$ 则$lim\frac{\beta }{\alpha }=lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$

等价无穷小

等价无穷小替换

若$x\to \ast$时有$\alpha (x)\sim a(x),\beta (x)\sim b(x)$，则$\underset{x\to \ast }{lim}\frac{\alpha (x)\gamma (x)}{\beta (x)\delta (x)}=\underset{x\to \ast }{lim}\frac{a(x)\gamma (x)}{b(x)\delta (x)}$

注意，极限加法和极限部分乘法不能使用等价无穷小替换

常见的等价无穷小见等价无穷小一节

常见的等价无穷小

$x\to 0$ ，有如下等价无穷小

泰勒公式替换（使用麦克劳林公式替换）

设$f(x)$在$x=x_0$处存在n阶导数，则有公式$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(x_0\right){(x-x_0)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}\left(x_0\right){(x-x_0)}^n+o\left({(x-x_0)}^n\right)$，称为$f(x)$在$x=x_0$处展开的具有佩亚诺余项的n阶泰勒公式，其中$R_n(x)=o\left({(x-x_0)}^n\right)$称为佩亚诺余项。特殊的，如果$x_0=0$,即在0处展开的佩亚诺余项泰勒公式又称麦克劳林公式。

常见的等价无穷小也可以看作将原式是展开到1阶的泰勒展开。

几个常用函数在x=0处展开的佩亚诺余项泰勒公式（常见的麦克劳林公式）如下：

极限性质

极限四则运算法则

两个（或有限个）无穷小的和是无穷小

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

函数极限的四则运算：如果$limu(x)=A,limv(x)=B$，那么有： $lim[u(x)\pm v(x)]=limu(x)\pm limv(x)=A\pm B;$ $\underset{x\to \ast }{lim}(u(x)v(x))=(\underset{x\to \ast }{lim}u(x))(\underset{x\to \ast }{lim}v(x))=AB$ $\underset{x\to \ast }{lim}(cu(x))=c\underset{x\to \ast }{lim}u(x)=cA$ $\underset{x\to \ast }{lim}\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{\underset{x\to \ast }{lim}u(x)}{\underset{x\to \ast }{lim}v(x)}=\frac{A}{B}$

数列极限的四则运算：与函数极限的四则运算一致。

函数极限减法的推论：如果 $\phi (x)⩾\psi (x),$ 而 $lim\phi (x)=A,lim\psi (x)=B,$ 那么 $AB$

洛必达法则

复合函数极限运算法则

前提： 1）函数$y=f(g(x))$是由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$复合而成 2）$y=f(g(x))$在点$x_0$的去心邻域内有定义 条件： 1）$\underset{\mathfrak{u}\to {\mathfrak{u}}_0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{u})=A$ 2）$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=u_0$ 3）存在${\delta }_0>0$，当$\mathbf{x}\in \mathring{U}a({\mathbf{x}}_0,{\delta }_0)$时，有$g(x)\ne u_0$ 结论： 则$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{lim}f(u)=A$

数列极限的性质

即数列极限存在时的一些必要条件

（唯一性、有界性、保号性以及推论、收敛数列与子数列关系）

函数极限性质

即函数极限存在时的一些必要条件

（唯一性、局部有界性、局部保号性以及推论、数列极限与函数极限关系）

极限存在准则

讲极限存在的充分与充分必要条件。

（数列极限存在充分条件：夹逼准则）如果数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 及 $\left\{z_n\right\}$ 满足下列条件： 1）从某项起,即 $\mathrm{\exists }{n}_0\in {\mathbf{N}}_{+},$ 当 $n>n_0$ 时 $,$ 有$y_n⩽x_n⩽z_n$； 2）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a$ 那么数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极 限存在, ${\mathrm{llim}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a$

（函数极限存在的充分条件：夹逼准则）如果： 1）当 $x\in \mathring{U}(x_0,r)($ 或 $|x|>M)$ 时$g(x)⩽f(x)⩽h(x)$； 2）$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{(x\to \mathrm{\infty })}}{lim}g(x)=A,\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{(x\to \mathrm{\infty })}}{lim}h(x)=A$ 那么 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{(x\to \mathrm{\infty })}}{lim}f(x)$ 存在,且等于 $A$

（数列极限存在的充分条件：单调有界）单调有界数列必有极限。

（函数极限存在的充分条件：单调有界）设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个左邻域内单调并且有界,则 $f(x)$ 在 $x_0$的左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$ 必定存在.

（数列收敛的充分必要条件：柯西极限存在准则）对于任意给定的正数 $\epsilon ,$ 存在正整数 $N,$ 使得 当 $m>N,n>N$ 时, 有$|x_n-x_m|<\epsilon$ 参考数列极限的定义，会发现，数列极限的定义和柯西极限准则其实是差不多的。

极限的计算

计算函数、数列的极限，可以借助极限的定义、性质、运算法则、等价替换、洛必达法则、泰勒公式替换、复合函数求极限、特殊极限定义、化为对数形式等方法求得。

大体上的极限计算过程： 1）代入对应的点，判断是否可直接计算出极限。否则为7种待定型。 2）如果能直接计算极限，代入计算 3）如果是待定型，根据其待定型类型，试用对应的方法求解， 4）如果无法根据待定型求解，考虑拆分为多个极限相加或相乘、或者考虑特殊极限定义、夹逼定理和泰勒公式等方法

待定型求极限

共七种待定型，以下是一般解题思路，若无法根据待定型解题，则考虑泰勒展开和夹逼定理等

$\frac{0}{0}$型、$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$型

• 常用洛必达法则
• 因式分解或者根式有理化+极限运算法则/连续函数求极限
• 等价无穷小
• 变量替换（洛必达反而更复杂，考虑变量替换）

$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$型求极限

• 通分，化为$\frac{0}{0}$
• 根式有理化，化为$\frac{0}{0}$
• 变量替换

$0\cdot \mathrm{\infty }$型求极限

• 乘一个数等于处以一个数的倒数，化为$\frac{0}{0}$型、$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$型

$1^{\mathrm{\infty }}$型、$0^0$型、${\mathrm{\infty }}^0$型求极限

• 凑$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$
• 将$u(x{)}^{v(x)}$化成指数形式$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln (x)}$

特殊极限定义

$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}$这是自然对数的定义

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$，要求$f(x)$在[0,1]上连续。这是积分的定义

$x^m+x^k\sim x^m,(m>k>0)$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a}=1$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{\delta }(\ln x{)}^k=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k{\mathrm{e}}^{-\delta x}=0$

已知极限求其他

已知极限求参数

• 带参数求一下极限，各种求极限的方法见极限的计算一节，将得出的结果与已知比较
• 若只说明极限存在，则在求极限的过程中注意参数应满足的条件

已知极限求另一极限

• 利用极限和无穷小的关系：$limf(x)=A$，则$f(x)=A+\alpha$求出$f(x)$进而代入另一个极限中
• 将欲求极限凑成用已知极限表示的形式

含有绝对值，取整函数，或为分段函数求极限

从正负两个方向分别求极限

求数列的极限

n个因式的积的极限，取对数可以变成n项和的形式，

n项和用公式或者积分定义等方法求解

以递推形式给出的数列，求极限常用单调有界准则和夹逼定理

求以极限定义的函数的表达式，一般用夹逼定理求解

函数的连续性

连续与间断的概念

增量的定义

设变量 u 从它的一个初值 $u_1$ 变到终值 $u_2,$ 终值与初值的差 $u_2-u_1$ 就叫做脚 u 的增量,记作 $\mathrm{\Delta }u$,即$\mathrm{\Delta }u=u_2-u_1$

函数在某点连续的定义

定义1：设 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义, 如果$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x_0\right)]=0$那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.

（即自变量增量趋于0，函数增量也趋于0，称为连续）

定义2：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域 内有定义,如果$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f\left(x_0\right)$，那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.

（定义2的极限式两边各减一个$f(x_0)$，就变到了定义1，所以两个定义意思式相同的）

（左连续/右连续定义略）

函数在区间上连续的定义

在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在区间上连续。 比如函数在(a,b)内，[a,b]上连续

函数在区间上一致连续的定义

定义：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义. 如果对于任意给定的正数 $\epsilon$,总存在（同一个）正数 $\delta ,$ 使得对于区间$I$ 上的任意两点 $x_1,x_2,$ 当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时, $,$ 有$|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|<\epsilon$，那么称函数 $f(x)$ 在区间 I 上一致连续.

一致连续性表示,不论在区间 I 的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.

如果函数 $f(x)$ 在区间 I 上一致连续,那么 $f(x)$ 在区间 I 上也是连续的。反之不一定成立。

(一致连续性定理) 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 [ a,b]上连续, 那么它 在该区间上一致连续.

函数间断点的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，但是在$x_0$点不连续，那么点 $x_0$ 称为 函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点. 具体的讲，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，如下3种情况任一都是间断点： （1）在 $x=x_0$ 没有定义 （2）虽在 $x=x_0$ 有定义, 但 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在 （3）虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在 $,$ 但 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f\left(x_0\right)$

第一类间断点

设$f(x)$在$x=x_0$的某去心邻域内有定义，且$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$存在，但$f(x_0)$无定义，或者虽有定义，但是与$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$不相等，称$x=x_0$为可去间断点

设$f(x)$在$x=x_0$的某去心邻域内有定义，$\underset{x\to x_{0+}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to x_{0-}}{lim}f(x)$都存在，但不相等，称$x=x_0$为跳跃间断点

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点

第二类间断点

设$f(x)$在$x=x_0$的某去心邻域内有定义，$\underset{x\to x_{0+}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to x_{0-}}{lim}f(x)$至少有一个不存在，称$x=x_0$为$f(x)$的第二类间断点

连续函数的运算性质

连续函数的四则运算仍连续

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续,则 它们的和（差 ) $f\pm g$, 积 $f\cdot g$ 及商$\frac{f}{g}($ 当 $g\left(x_0\right)\ne 0$ 时 $)$ 都在点 $x_0$ 连续.

反函数的连续性

如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续,那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y=\{y\mid y=f(x),x\in I_x\}$ 上单调增加（或单 调减少）且连续。

复合函数的连续性

设函数 $y=f[g(x)]$ 由 函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复 合而成，$U^{\circ }\left(x_0\right)\subset D_{f\circ g}$ 若 ${\mathrm{limg}}_{x\to x_0}(x)=u_0,$ 而 函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连 续 $,$ 则$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{lim}f(u)=f\left(u_0\right)$

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

闭区间上连续函数的定理或性质

有界性定理

函数在闭区间连续 $\Rightarrow$ 一定有界（有界性定理）

最值定理

函数在闭区间连续 $\Rightarrow$ 一定有最大值与最小值（最值定理）

介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 [ a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$ 及 $f(b)=B$，则 对于 A 与 B 之间的任意一个数 $C,$ 在开区间 ( $a,b)$ 内至少有一点 $\xi ,$ 使得$f(\xi )=C(a<\xi <b)$

推论：函数在闭区间[a,b]连续，设$\mu$满足$m⩽\mu ⩽M$，m与M是$f(x)$在[a,b]上的最小、最大值， $\Rightarrow$ 闭区间至少存在一点$\delta \in [a,b]$，使得$f(\xi )=\mu$ （介值定理）

零点定理

函数在闭区间连续，若$f(a)f(b)<0$， $\Rightarrow$ 开区间至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi )=0$ （零点定理）

一致连续性定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 [ a,b]上连续, 那么它 在该区间上一致连续.

讨论函数的间断与连续

复合函数的连续性

基本初等函数的连续性

初等函数的连续性

由极限定义的函数的连续性

已知连续求参数

一般是分段函数，函数连续则在分段点左极限等于右极限