高等数学-多元微分学-代数应用：多元函数的极值

April 05, 2020

高等数学-多元微分学-代数应用：多元函数的极值与最值

代数应用：多元函数的极值

极值/最值问题，其实就是最优化问题。

注意：极值问题，可能取值的的位置，包括驻点、不可导点、边界点。

无条件极值的定义域为开区域，考虑的是定义域内的驻点是否取极值。 条件极值多了约束，考虑的是有约束的情况下是否取极值。（如果约束正好是对应无条件极值的边界，则条件极值考虑的是边界点是否取极值）

例如求 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 4\right\}$ 上的极值/最值。可以拆成两部分来求：在区域 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} < 4\right\}$ 上找到所有的驻点判断是否取极值（求非条件极值）在区域 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} = 4\right\}$ 上，即给定约束$x^{2}+4 y^{2} = 4$的条件下，求函数的极值（求条件极值）

实际问题中，很多问题只在开区域内取最值，这个时候，可以不考虑在边界上取极值的情况（不用考虑条件极值）

多元函数极值的概念

	一元函数	多元函数
极值的定义	函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，对于该邻域内的任意点x，恒有$f(x)>f(x_0)$,称$f(x_0)$为极小值。若邻域内任意点，恒有$f(x<f(x_0)$,称$f(x_0)$为极大值。	设函数 $z=f(x, y)$ 在 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 点的某邻域内有定义,如果对于该邻城内异于 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ 点的任一点 $Q(x, y),$ 恒有$f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right) \quad\left(\text { 或 } f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$，则称 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极小值(或极大值) ，极大值与极小值统称极值. 使函数 $z=f(x, y)$ 取极值的自变量 $x, y$ 的值,称为 $f(x, y)$ 的极值点.
驻点	一阶导数为0的点	使各个偏导数都为0的点
极值的第一充分条件	一元函数极值的第一充分条件：函数在某点连续，该点左侧导数大于0，右侧导数小于0，则该点取得极大值；函数在某点连续，该点左侧导数小于0，右侧导数大于0，则该点取得极小值
极值的第二充分条件	一元函数极值的第二充分条件：函数在某点的一阶导数等于0，二阶导数不等于0。若该点的二阶导数大于0，该点取得极小值；若该点的二阶导数小于0，则该点取得极大值	（多元函数取极值的充分条件）设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且\[\begin{array}{c}f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\B^2 - AC = {\left[f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]^{2}-f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot f_{yy}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0}\end{array}\] 则 $\quad P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $z=f(x, y)$ 的一个初值点. $1^{\circ} \quad$ 若 $f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ (或 $ f_{yy}^{}(x_{0}, y_{0})<0$ )为极小值点. $2^{\circ} \quad$ 若 $f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ (或 $ f_{yy}^{}(x_{0}, y_{0})>0$ )为极小值点.
极值的必要条件	$x=x_{0}$处取得极值，且可导 $\Rightarrow$ 导数为零：$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$	（取极值的必要条件）设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的一阶偏导数存在,且 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $z=f(x, y)$ 的极值点，则 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0\end{array}\right.$

无条件极值，函数中的自变量只受定义域约束的极值问题

条件极值，函数中的自变量除了受定义域约束，还有其他约束条件的极值问题。

注意：极值问题，可能取值的的位置，包括驻点、不可导点、边界点。

无条件极值

注意，无条件极值的定义域为开区域。

注意：极值问题，可能取值的的位置，包括驻点、不可导点、边界点。无条件极值考虑的是开区域中的驻点是否取极值。实际问题中，一些实际情况可以只可能在开区域内取最值，则不考虑边界点。

若二元函数 $z=f(x, y)$ 有连续二阶偏导数,则可按以下方法求它的极值：第一步 : 令 $f_{x}^{\prime}(x, y)=0, f_{y}^{\prime}(x, y)=0$ 求得所有驻点. 第二步 :对每个驻点求出二阶偏导数$A=f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), B=f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), C=f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 第三步 :利用极值充分条件, 通过 $A C-B^{2}$ 的正负对驻点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 作判定.

条件极值

参考：高数同济7版，李永乐复习全书，陈文灯考研复习指南参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/67327634

条件极值，其实就是有等式约束的最优化问题。

条件极值求法1：消元法

条件极值的求法1：函数中利用约束条件消元，条件极值转化为非条件极值。

条件极值求法2：拉格朗日乘数法

条件极值的求法2：拉格朗日乘数法：利用已知函数和约束条件，构造拉格朗日函数。

拉格朗日乘数法

要找函数 $z=f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 $L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$ 其中$ $为参数. 求其对 x 与 y 的一阶偏导数，并使之为零,然后与方程 $\varphi(x, y)=0$ 联立起来： $\left\{\begin{array}{l} f_{x}(x, y)+\lambda \varphi_{x}(x, y)=0 \\ f_{y}(x, y)+\lambda \varphi_{y}(x, y)=0 \\ \varphi(x, y)=0 \end{array}\right.$ 由这方程组解出 $x, y$ 及 $\lambda,$ 这样得到的 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的可能极值点.

拉格朗日乘数法的证明

先讨论函数 $z=f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$ 下取极值的必要条件。设函数 $z=f(x, y)$ 在$(x_0,y_0)$取极值，则$\varphi(x_0, y_0)=0$ 由 $\varphi(x, y)=0$ 可以确定一个函数$y= \psi(x)$，则$z=f(x, y)= f(x,\psi(x))$ 则函数 $z=f(x, y)$ 在$(x_0,y_0)$取极值等价于一元函数$z= f(x,\psi(x))$在$x= x_0$取极值。由一元可导函数取极值的必要条件得$\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left.f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_{0}}=0$ 又对 $\varphi(x, y)=0$ 运用隐函数求导公式得$\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}$，将其代入上一式，得$f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-f_{,}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0$ 设 $\frac{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi,\left(x_{0}, y_{0}\right)}=-\lambda,$ 上述必要条件就变为 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda \varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda \varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\ \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0\end{array}\right.$ 若引进辅助函数$L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$ 则函数 $z=f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$ 下取极值的必要条件即为 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}(x, y)+\lambda \varphi_{x}(x, y)=0 \\ f_{y}(x, y)+\lambda \varphi_{y}(x, y)=0 \\ \varphi(x, y)=0\end{array}\right.$

拉格朗日乘数法的推广

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形. 例如,要求函数￥$u=f(x, y, z, t)$ 在附加条件$\varphi(x, y, z, t)=0, \quad \psi(x, y, z, t)=0$ 下的极值,可以先作拉格朗日函数$L(x, y, z, t)=f(x, y, z, t)+\lambda \varphi(x, y, z, t)+\mu \psi(x, y, z, t)$ 其中 $, $均为参数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与两个附加条件联立起来求解 ,这样得出的 $(x, y, z, t)$ 就是函数 $f(x, y, z, t)$ 在附加条件$\varphi(x, y, z, t)=0, \quad \psi(x, y, z, t)=0$的可能极值点。

拉格朗日乘数法的例子

例1 求函数 $f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的极值

先构造拉格朗日函数 $F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$,然后解方程组 $\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda}=\varphi(x, y)=0 \end{array}\right.$

方程组的解，就是可能的极值点

例2 求函数 $f(x, y, z)$ 在条件 $\varphi(x, y, z)=0, \psi(x, y, z)=0$ 下的极值

构造拉格朗日函数，$F(x, y, z, \lambda, \mu)=f(x, y, z)+\lambda \varphi(x, y, z)+\mu \psi(x, y, z)$ 对函数求各个方向的偏导=0，联立方程组求解，方程组的解，就是可能的极值点。