高等数学-多元微积分-多元微分学-向量值函数和向量分析

一元向量值函数 $f:D\to {\mathbf{R}}^n$

一元向量值函数定义

定义 设数集 $D\subset R$,则称映射 $f:D\to {\mathbf{R}}^n$ 为一元向量值函数, 通常记为$\mathit{r}=\mathit{f}(t),t\in D$ 其中数集 D 称为函数的定义域, , t称为自变量, $\mathit{r}$ 称为因变量.

例子：空间解析几何的参数方程形式，就是向量值函数

空间曲线$\mathrm{\Gamma }$的参数方程就是一个一元向量值函数， $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t),t\in [\alpha ,\beta ]\\ z=\omega (t)\end{array}$ 也可以写成向量形式： $\mathit{r}=x\mathit{i}+y\mathit{j}+z\mathit{k},\mathit{f}(t)=\phi (t)\mathit{i}+\psi (t)\mathit{j}+\omega (t)\mathit{k}$ 简记为向量方程： $\mathit{r}=\mathit{f}(t),t\in [\alpha ,\mathit{\beta }]$

一元向量值函数的极限

定义 2 设向量值函数 $f(t)$ 在点 $t_0$ 的某一去心邻域内有定义,如果存在一 个常向量 ${\mathit{r}}_0,$ 对于任意给定的正数 $\epsilon ,$ 总存在正数 $\delta ,$ 使得当 $t$ 满足 $0<|t-t_0|<\delta$时，对应的函数值 $\mathit{f}(t)$ 都满足不等式$|\mathit{f}(t)-{\mathit{r}}_0|<\epsilon$, 那么,常向量 ${\mathit{r}}_0,$ 就叫做向量值函数 $\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{)}$ 当 $t\to t_0$ 时的极限 $,$ 记作$\underset{t\to t_0}{lim}\mathit{f}(t)={\mathit{r}}_0$ 或 $\mathit{f}(t)\to {\mathit{r}}_0,l\to t_0$

向量值函数 $\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{)}$ 当 $t\to t_0$ 时极限存在的充分必要条件是：三个分量函数 $f_1(t),f_2(t),f_3(t)$ 当 $t\to t_0$ 时的极限都存在。 即$\underset{t\to t_0}{lim}\mathit{f}(t)=(\underset{t\to t_0}{lim}{f}_1(t),\underset{t\to t_0}{lim}{f}_2(t),\underset{t\to t_0}{lim}{f}_3(t))$

一元向量值函数的连续性

向量值函数 $\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{)}$ 在$t_0$ 连续的充分必要条件是：三个分量函数 $f_1(t),f_2(t),f_3(t)$ 都在在$t_0$ 连续

一元向量值函数的导数或导向量

向量值函数 $\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{)}$ 在$t_0$的某邻域内有定义， 如果$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathit{f}(t_0+\mathrm{\Delta }t)-\mathit{f}\left(t_0\right)}{\mathrm{\Delta }t}$， 则称这个极限向量是此一元向量值函数的导数或导向量，记为${\mathit{f}}^{\prime }\left(t_0\right)$ 或 ${\frac{\mathrm{d}\mathit{r}}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}$

向量值函数 $\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{t}\mathbf{)}$ 在$t_0$ 可导的充分必要条件是：三个分量函数 $f_1(t),f_2(t),f_3(t)$ 都在在$t_0$ 可导。 即${\mathit{f}}^{\prime }\left(t_0\right)=f_1^{\prime }\left(t_0\right)\mathit{i}+f_2^{\prime }\left(t_0\right)\mathit{j}+f_3^{\prime }\left(t_0\right)\mathit{k}$

一元向量值函数的导数运算法则，与数量函数的导数运算法则形式相同： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathit{C}=\mathbf{0}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[c\mathit{u}(t)]=c{\mathit{u}}^{\prime }(t)$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mathit{u}(t)\pm \mathit{v}(t)]={\mathit{u}}^{\prime }(t)\pm {\mathit{v}}^{\prime }(t)$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\phi (t)\mathit{u}(t)]={\phi }^{\prime }(t)\mathit{u}(t)+\phi (t){\mathit{u}}^{\prime }(t)$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mathit{u}(t)\cdot \mathit{v}(t)]={\mathit{u}}^{\prime }(t)\cdot \mathit{v}(t)+\mathit{u}(t)\cdot {\mathit{v}}^{\prime }(t)$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\mathit{u}(t)\times \mathit{v}(t)]={\mathit{u}}^{\prime }(t)\times \mathit{v}(t)+\mathit{u}(t)\times {\mathit{v}}^{\prime }(t)$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathit{u}[\phi (t)]={\phi }^{\prime }(t){\mathit{u}}^{\prime }[\phi (t)]$

几何应用：在空间解析几何中的应用：空间曲线切向量、曲面法向量

向量值函数的几何意义

导向量 $f^{\prime }\left(t_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }r}{\mathrm{\Delta }t}$ 是向量值函数 $r=f(t)$ 的终端曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 在点 $M$ 处的一个切向量,其指向与 $t$ 的增长方向一致.

空间曲线的切线与法平面

空间曲线$\mathrm{\Gamma }$的参数方程就是一个一元向量值函数， $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t),t\in [\alpha ,\beta ]\\ z=\omega (t)\end{array}$ 也可以写成向量形式： $\mathit{r}=x\mathit{i}+y\mathit{j}+z\mathit{k},\mathit{f}(t)=\phi (t)\mathit{i}+\psi (t)\mathit{j}+\omega (t)\mathit{k}$ 简记为向量方程： $\mathit{r}=\mathit{f}(t),t\in [\alpha ,\mathit{\beta }]$

由前面几何意义可知，导向量是向量值函数变化方向上的切向量。 则向量$\mathit{T}={\mathit{f}}^{\prime }\left(t_0\right)=({\phi }^{\prime }\left(t_0\right),{\psi }^{\prime }\left(t_0\right),{\omega }^{\prime }\left(t_0\right))$就是曲线的一个切向量（要求三个导数不同时为0）（对参数求导组成得导向量） 曲线$\mathrm{\Gamma }$在点M处的切线方程$\frac{x-x_0}{{\phi }^{\prime }\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{{\psi }^{\prime }\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{{\omega }^{\prime }\left(t_0\right)}$ 曲线$\mathrm{\Gamma }$在点M处的法平面方程${\phi }^{\prime }\left(t_0\right)(x-x_0)+{\psi }^{\prime }\left(t_0\right)(y-y_0)+{\omega }^{\prime }\left(t_0\right)(z-z_0)=0$

对于非参数方程形式的空间曲线，如（显函数形式）： $\{\begin{array}{l}y=\phi (x)\\ z=\psi (x)\end{array}$ 可以化为参数方程形式求解： $\{\begin{array}{l}x=x\\ y=\phi (x)\\ z=\psi (x)\end{array}$

对于另一种非参数方程形式的空间曲线，如（隐函数方程组形式）： $\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$ 可以（对方程组求自由元的导数+解线性方程组）的方式来求解,得曲线的切向量$(1,\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx})\to ...$ 看过下一节：曲面的切平面与法线后，可以将$F(x,y,z)=0$和$G(x,y,z)=0$看作两个曲面，分别求曲面的法向量${\mathit{n}}_1,{\mathit{n}}_2$，空间曲线是两曲面的交线，空间曲线的切向量$\mathit{n}={\mathit{n}}_1\times {\mathit{n}}_2$

曲面的切平面与法线

曲面方程$F(x,y,z)=0$ 在曲面$F(x,y,z)=0$上，且过曲面上一点$M(x_0,y_0,z_0)$的任意曲线，设曲线的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t),t\in [\alpha ,\beta ]\\ z=\omega (t)\end{array}$ 由上一节知，这条空间曲线的切线方程为$\frac{x-x_0}{{\phi }^{\prime }\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{{\psi }^{\prime }\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{{\omega }^{\prime }\left(t_0\right)}$ $F[\phi (t),\psi (t),\omega (t)]\equiv 0$ F有连续偏导数的情况下，${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F[\phi (t),\psi (t),\omega (t)]|}_{t=t_0}=0$ 即$F_x(x_0,y_0,z_0){\phi }^{\prime }\left(t_0\right)+F_y(x_0,y_0,z_0){\psi }^{\prime }\left(t_0\right)+F_z(x_0,y_0,z_0){\omega }^{\prime }\left(t_0\right)=0$ 引入向量$\mathit{n}=({\mathit{F}}_x(x_0,y_0,z_0),F,(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$，又有（见上一节）过曲面点$M(x_0,y_0,z_0)$的任任意曲线切向量$\mathit{T}=({\mathit{\phi }}^{\prime }\left(t_0\right),{\mathit{\psi }}^{\prime }\left(t_0\right),{\mathit{\omega }}^{\prime }\left(t_0\right))$ 即$\mathit{T}\cdot \mathit{n}=\mathbf{0}$ 这个与曲面上过点M的任意曲线切线都垂直的向量$\mathit{n}=({\mathit{F}}_x(x_0,y_0,z_0),F,(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$，就是空间曲面在$M(x_0,y_0,z_0)$处的切平面的法向量，（对隐函数左侧求偏导组成的向量） 对应的切平面方程为$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$ 法线方程为$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$

对于非隐函数形式的空间曲线，如（显函数形式）： $z=f(x,y)$ 可以化为隐函数形式： $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ 对应的有： $F_x(x,y,z)=f_x(x,y),F_y(x,y,z)=f_y(x,y),F_z(x,y,z)=-1$ 则平面切点M处的法向量： $\mathit{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$ 法向量单位化（化为方向余弦的形式：z轴向上）： 各分量分别为$\cos \alpha =\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},\cos \beta =\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_{,}^2}},\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_{\gamma }^2}}$

物理应用:速度与加速度

由前面几何意义可知，导向量是向量值函数变化方向上的切向量，进一步，可以赋予其物理意义。

设向量值函数$\mathit{r}=\mathit{f}(t)$是沿空间光滑曲线运动的质点 $M$ 的位置向量，t代表时间 $\mathit{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathit{r}}{\mathrm{d}t}$ 是质点 $M$ 的速度向里,其方向与曲线相切 $\mathit{a}(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{r}}{\mathrm{d}{t}^2}$ 是质点 $M$ 的加速度向量.

多元向量值函数

方向导数（不是向量值函数）

方向导数不是多元向量值函数，但是它与梯度的定义有关，所以把它放到这里。

偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。很多物理现象需要求解物理量沿特定方向的变化率，只靠偏导数数是显然不够的。有必要讨论函数沿特定方向的变化率。（给定方向，只求大小，是个标量）

以二元函数为例，给定$P_0(x_0,y_0)$和附近的点$P(x,y)$,当两点距离$|P{P}_0|$足够小时， $P_{0}P$可以看作是直线段$l$， $l$上两点间距离$|P{P}_0|=t$， $l$的方向向量${\mathit{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 参数方程：$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\cos \beta \end{array}(t⩾0)$ 对于函数 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处沿方向 $l$ 的变化率. 即函数增量与距离的比值，取极限，即${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{\ast }}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$，这里${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}$称作函数的方向导数

对于方向取${\mathit{e}}_l=\mathit{i}=(1,0)$,方向导数就是对x的偏导数${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=f_x{|}_{(x_0,y_0)}$ 对于方向取${\mathit{e}}_l=\mathit{j}=(0,1)$,方向导数就是对y的偏导数${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=f_y{|}_{(x_0,y_0)}$

定理 （方向导数存在的必要条件）如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分,那么函数在该点沿任一方向$l$ 的方向导数存在,且有${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$，其中其中 $\cos \alpha$ 和 $\cos \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦. 证明：由函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分,得： $\begin{array}{rl}& f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\\ =& f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})\end{array}$ 又$\mathrm{\Delta }x=t\cos \alpha ,\mathrm{\Delta }y=t\cos \beta ,\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}=t$ 得方向导数： $\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}& =\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}\\ & =\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})-f(x_0,y_0)}{t}\\ & =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \end{array}$

同理，对于三元函数 $f(x,y,z)$ 来说, 它在空间一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 沿方向 $e_l=(cos\alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$的方向导数为 ${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\underset{t\to 0^{\ast }}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta ,z_0+t\cos \gamma )-f(x_0,y_0,z_0)}{t}$ 同样可证，三元函数 $f(x,y,z)$ 在空间一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 可微，则该函数沿方向 ${\mathit{e}}_i=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 的方向导数为${\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0,z_0)\cos \beta +f_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma$

梯度

二元函数梯度的定义

以二元函数为例，函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微分,那么函数在该点沿任一方向$l$ 的方向导数存在,且有$.|{(x{0}, y_{0})}=f_{x}(x_{0}, y_{0}) +f_{y}(x_{0}, y_{0}) = (f_{x}(x_{0}, y_{0}) ,f_{,}(x_{0}, y_{0}) ) (, ) $，其中其中 $\cos \alpha$ 和 $\cos \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦，则${\mathit{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$是单位方向向量

我们可以将$(f_x(x_0,y_0),f_{,}(x_0,y_0))$向量（向量值函数），定义为梯度： $\mathit{g}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}f(x_0,y_0)=\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\mathit{i}+f_{,}(x_0,y_0)\mathit{j}=(f_x(x_0,y_0),f_{,}(x_0,y_0))$ 它是定义在多元函数上的向量值函数，$D\to {\mathbf{R}}^n$ ，由标量函数$f(x,y)$经过$\mathrm{\nabla }$算子的操作，映射到向量空间。

那么，方向导数可以看作是梯度和单位方向向量的内积： $\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}& =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \\ & =\mathit{g}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}f(x_0,y_0)\cdot {\mathit{e}}_i=\left|\mathit{g}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}f(x_0,y_0)\right|\cos \theta \end{array}$ 其中$\theta$是两个向量的夹角。

梯度方向是方向导数取最大值的方向，梯度的模就是方向导数的最大值。

$\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial l}|}_{(x_0,y_0)}& =\mathit{g}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}f(x_0,y_0)\cdot {\mathit{e}}_i=\left|\mathit{g}\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}f(x_0,y_0)\right|\cos \theta \end{array}$

• 当方向导数和梯度的方向相同时，即$\theta =0$时，方向导数最大，函数增加最快。 梯度方向是方向导数取最大值的方向，梯度的模就是方向导数的最大值。
• 同理，当方向导数和梯度的方向相反时，即$\theta =\pi$时，方向导数最小，函数减小最快。 梯度的反方向是方向导数取最小值的方向，梯度模的相反数就是方向导数的最小值。
• 同理，当方向导数和梯度的方向正交时，即$\theta =\pi /2$时，方向导数为0，函数变化率为0。

二元函数等值线的法线方向是梯度方向

二元函数 $z=f(x,y)$ 在几何上表示一个曲面，它和平面$z=c$截得的曲线叫做等值线。 二元函数的等值线$\{\begin{array}{l}z=f(x,y)\\ z=c\end{array}$有3个变量2个约束1个自由元， 用代入消元或隐函数方程组的方法可求$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$, 由前面向量值函数$\mathit{r}=x\mathit{i}+y\mathit{j}+z\mathit{k}=(x,y,z)$的导函数的几何意义可知，向量$(\frac{dx}{dx},\frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx})=(1,\frac{dy}{dx},0)$代表空间曲线的切向量，此切向量z分量为0，$z=c$平面上切向量分量$(\frac{dx}{dx},\frac{dy}{dx})=(1,\frac{dy}{dx})$，则$z=c$平面上法向量为$(1,-)=(1,)$， 单位化法向量: $\begin{array}{rl}\mathit{n}& =\frac{1}{\sqrt{f_x^2(x_0,y_0)+f_y^2(x_0,y_0)}}(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\\ & =\frac{\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)}{\left|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\right|}\end{array}$ 即二元函数等值线在$z=c$平面上的法线方向就是梯度方向

三元函数梯度的定义

类似二元函数梯度（是个向量值函数）的定义，可以定义三元函数的梯度。

只要函数$f(x,y,z)$在空间区域D有连续偏导数，在空间中任意点$(x_0,y_0,z_0)$都可定义梯度

$\begin{array}{rl}\mathrm{grad}f(x_0,y_0,z_0)& =\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\\ & =f_x(x_0,y_0,z_0)\mathit{i}+f_{,}(x_0,y_0,z_0)\mathit{j}+f_i(x_0,y_0,z_0)\mathit{k}\end{array}$

其中$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k$ 称为(三维的) 向量微分算子或 Nabla 算子 $,\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$

三元函数等值面的法线方向是梯度方向

曲面$f(x,y,z)=c$是函数$f(x,y,z)$的等值面，写成标准形式是$F(x,y,z)=f(x,y,z)-c=0$, 有3变量1约束2自由元，可求得$(F_x,F_y,F_z)=(f_x,f_y,f_z)$ 由前面的几何意义可知，对于空间曲面（等值面）上任意点$M(x_0,y_0,z_0)$，向量$({\mathit{F}}_x(x_0,y_0,z_0),F,(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$，就是空间曲面（等值面）$F(x,y,z)=0$在$M(x_0,y_0,z_0)$处的切平面的法向量， 单位化法向量： $\begin{array}{rl}\mathit{n}& =\frac{1}{\sqrt{f_x^2(x_0,y_0,z_0)+f_y^2(x_0,y_0,z_0)+f_y^2(x_0,y_0,z_0)}}(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0))\\ & =\frac{\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)}{\left|\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\right|}\end{array}$

标量场$f:{\mathbf{R}}^m\to \mathbf{R}$

如果对于空间区域G内的任意一点M，都有一个确定的数量$f(M)$，那么称在这片区域G中确定了一个数量场（如温度场、密度场等）。 一个数量场可以用一个数量函数$f(M)$来确定。

矢量场$f:{\mathbf{R}}^m\to {\mathbf{R}}^n$

如果对于空间区域G内的任意一点M，如果与M对应的是一个向量$\mathit{F}(M)$,那么称在这片区域中确定了 一个矢量场/向量场。（如力场、速度场等） 一个向量场可用一个向量值函数$\mathit{F}(M)$来确定。

如果向量场$\mathit{F}(M)$恰好是某个数量函数$f(M)$的梯度，即$\mathit{F}(M)=\mathrm{\nabla }f(M)$，这样的向量场$\mathit{F}(M)$称为势场，对应数量函数$f(M)$称为势函数

例如：