高等数学-多元积分学-重积分

由一元函数积分学我们知道，定积分是某种形式的和的极限。这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，就得到了重积分、曲线积分以及曲面积分的概念。

二重积分的概念与性质

二重积分概念的引入

曲顶柱体的体积

对于平顶柱体体积：体积 = 高 $\times$ 底面积

对于曲顶柱体，需要将底面（区域）划分为足够小的区域，用极限理论来讨论。

首先,用一组曲线网把 区域D 分成 n 个小闭区域$\mathrm{\Delta }{\sigma }_1,\mathrm{\Delta }{\sigma }_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{\sigma }_n$. 则曲顶柱体可以看作是以小闭区域为底面的小曲顶柱体组成的。

$f(x,y)$ 连续,对于一个很小的小闭区域$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$来说 $,f(x,y)$ 变化很小,我们可以近似看作小平顶柱体。 从$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$中任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i),$ 以 $f({\xi }_i,{\eta }_i)$ 为高而底面积为$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$的体积为$f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 则这n个小平顶柱体的总体积为$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$，即原曲顶柱体的体积近似为$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$。 当这n个小闭区域的直径的最大值（记作$\lambda$）趋于0时，取上述和的极限，所得极限自然的定义为曲顶柱面的体积$V=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$

注：闭区域的直径指区域上任意两点的最大距离。

平面薄片的质量

对于均匀薄片（ 面密度是常数），质量为：质量=面密度 $\times$ 面积

对于不均匀的薄片，需要将平面（区域）划分为足够小的区域，用极限理论来讨论。

首先,用一组曲线网把 区域D 分成 n 个小闭区域$\mathrm{\Delta }{\sigma }_1,\mathrm{\Delta }{\sigma }_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{\sigma }_n$. 则平面薄板的质量可以看作是以小闭区域（小块）的质量的总和。

由于 $\mu (x,y)$ 连续,对于每个小块（小 块所占的小闭区域 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 的直径很小）,这些小块就可以近似地看做均匀薄片. 在 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$, 以点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$的面密度为近似面密度，这个小块$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$的近似质量为$\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i(i=1,2,\cdots ,n)$。 对这n个小块的质量求和，即平面薄板的近似总质量为$\sum _{i=1}^n\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 取极限，极限值可自然定义为平面薄板的质量$m=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^n\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$

二重积分的定义

二重积分的定义

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域$\mathrm{\Delta }{\sigma }_1,\mathrm{\Delta }{\sigma }_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{\sigma }_n$，其中 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积。

在每个 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i),$ 作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i(i=1,2,\cdots ,n),$ 并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$。

若各小闭区域$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 的最大直径$\lambda \to 0$时，和的极限$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$总存在，且极限值且与区域D划分$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 的分法无关，也与 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 上$({\xi }_i,{\eta }_i)$取法无关 ， 那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 D 上的二重积分，记作${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$

其中 $f(x,y)$ 叫做被积函数 , $f(x,y)$ 叫做被积表达式 ， $\mathrm{d}\sigma$ 叫做面积元素， ,$x$ 与 $y$叫做积分变量, D 叫做积分区域, $\sum _i^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 叫做积分和.

二重积分的性质

（二重积分存在的充分条件）当 $f(x,y)$ 在闭区域 D 上连续时，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分必定存在

（数乘和加法性质）设 $\alpha$ 与 $\beta$ 为常数,则${\iint }_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}\sigma =\alpha {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\beta {\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

（积分区域可加性）若$D$ 分为两个闭区域 $D_1$ 与 $D_2$，则${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$

（$f(x,y)=1$时的几何意义）如果在 $D$上 ，$ f(x, y)=1$,\mathrm{则}$={D} 1 ={D} $ 为 $D$ 的面积

（二重积分的比较）如果在 $D$上$f(x,y)g(x,y),$ 那么有${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽{\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

（重积分的比较的推论）由于$-|f(x,y)|⩽f(x,y)⩽|f(x,y)|$，所以有$|{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma |⩽{\iint }_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$

（重积分的最值定理/估值不等式）设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值, $\sigma$ 是 $D$的面积，则有$m\sigma ⩽{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽M\sigma$

（二重积分的中值定理：可用上一条性质证明）设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续, $\sigma$ 是 $D$的面积，则在 D 上至少存在一点( $\xi ,\eta )$, 使得${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma$

二重积分的积分区域对称性与积分函数奇偶性

积分区域D关于y轴对称（左右对称）， 设右侧积分区域为$D_1$,则（把y先看作常数，观察被积函数对于x的奇偶性） $\{\begin{array}{rl}f(-x,y)=-f(x,y),& \Rightarrow {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0\\ f(-x,y)=f(x,y),& \Rightarrow {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma \end{array}$

积分区域D关于x轴对称（上下对称）， 设上侧积分区域为$D_1$，则（把x看作常数，观察被积函数关于y的奇偶性） $\{\begin{array}{rl}f(x,-y)=-f(x,y),& \Rightarrow {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0\\ f(x,-y)=f(x,y),& \Rightarrow {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma \end{array}$

积分区域D关于$y=x$对称，则： ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\iint f(y,x)d\sigma$

二重积分的积分中值定理

若 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 在 $D$ 上连续, 且$g(x,y)$ 在 $D$ 上不变号, 则存在$(\xi ,\eta )\in D,$ 使等式${\iint }_{D}f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta ){\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma$成立, 其中 D 是有界连通闭区域.

（用介值定理可以证明，参考：知乎网友的回答）

二重积分的计算

二重积分的计算，除了用定义计算，一般需要化为两次单积分（定积分）来计算。

用定义计算二重积分

略

计算二重积分：在直角坐标系化为二次积分

下面讨论在直角坐标系中将二重积分化为二次定积分的方法。

直角坐标系中的二重积分

根据二重积分的定义${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$，对于闭区域D的划分是任意的。如果在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网来划分 D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.

设矩形闭区域 $\mathrm{\Delta }\sigma ,$ 的边长为 $\mathrm{\Delta }{x}_j$ 和 $\mathrm{\Delta }{y}_k,$ 则$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i=\mathrm{\Delta }{x}_j\cdot \mathrm{\Delta }{y}_k\cdot$ 因此在直角坐标系中,有时也把面积元素 $\mathrm{d}\sigma$ 记作 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$而把（直角坐标系中）二重积分记作${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。

X型区域上二重积分的计算

X型二重积分的积分区域如下图所示：

其积分区域D可以用如下不等式来表示：

对于在这种区域上的二重积分，化为先对y积分再对x积分的二次定积分比较简单。（先对y积分时被积函数中出现的x可以当作常数来处理）

${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$

Y型区域上二重积分的计算

Y型二重积分的积分区域如下图所示：

其积分区域D可以用如下不等式来表示： ${\psi }_1(y)⩽x⩽{\psi }_2(y),c⩽y⩽d$

对于在这种区域上的二重积分，化为先对x积分再对y积分的二次定积分比较简单。（先对x积分时被积函数中出现的y可以当作常数来处理）

${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_c^d[{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$

混合型区域上二重积分的计算

类似这样的混合型区域上的二重积分，可以拆分成多个X型区域或者Y型区域来计算

计算二重积分：直角坐标系转换为极坐标系，在极坐标系化为二次积分

某些二重积分，满足： 积分区域D的边界用极坐标方程表示比较简单（主要）， 被积函数用极坐标变量$\rho ,\theta$表示比较简单（次要）， 这个时候，我们可以考虑用极坐标来计算二重积分。

下面讨论在极坐标

直角坐标系中的二重积分转换为极坐标系中的二重积分

根据二重积分的定义${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$，我们考虑在极坐标系的表示。

二重积分积分区域D的划分是任意的，考虑以极坐标系极轴方向、角向方向划分网格，把积分区域D划分为n个小区域，如下图所示：

除包含边界点的一些小区域外，小闭区域的$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$面积可如下表示（扇形面积相减）： $\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{\sigma }_i& =\frac{1}{2}{({\rho }_i+\mathrm{\Delta }{\rho }_i)}^2\cdot \mathrm{\Delta }{\theta }_i-\frac{1}{2}{\rho }_i^2\cdot \mathrm{\Delta }{\theta }_i=\frac{1}{2}(2{\rho }_i+\mathrm{\Delta }{\rho }_i)\mathrm{\Delta }{\rho }_i\cdot \mathrm{\Delta }{\theta }_i\\ & =\frac{{\rho }_i+({\rho }_i+\mathrm{\Delta }{\rho }_i)}{2}\cdot \mathrm{\Delta }{\rho }_i\cdot \mathrm{\Delta }{\theta }_i={\overline{\rho }}_i\cdot \mathrm{\Delta }{\rho }_i\cdot \mathrm{\Delta }{\theta }_i\end{array}$

直角坐标与极坐标之间的关系为： $\{\begin{array}{}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ 则小区域$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$中一点$({\overline{\rho }}_i,{\overline{\theta }}_i)$，直角坐标设为 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，则有： $\{\begin{array}{}{\xi }_i={\overline{\rho }}_i\cos {\overline{\theta }}_i\\ {\eta }_i={\overline{\rho }}_i\sin {\overline{\theta }}_i\end{array}$

则根据二重积分定义有：

$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\rho }_i\cos {\overline{\theta }}_i,{\overline{\rho }}_i\sin {\overline{\theta }}_i){\overline{\rho }}_i\cdot \mathrm{\Delta }{\rho }_i\cdot \mathrm{\Delta }{\theta }_i$

即极坐标中，二重积分的表示为： ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$

我们也可以得到二重积分的变量从直角坐标到极坐标的 变换公式： ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$

以上也表明,要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要 把被积函数中的 x 与 $y$ 分別换成 $\rho \cos \theta$ 与 $\rho \sin \theta .$ 并把直角坐标系 中的面积元素 dxdy 换成极坐标系中的面积元素 $\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$

极坐标系中二重积分的计算

极坐标系中方便计算的积分区域如下所示：

其积分区域D可用如下不等式表示： ${\phi }_1(\theta )⩽\rho ⩽{\phi }_2(\theta ),\alpha ⩽\theta ⩽\beta$

${\iint }_{D}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }[{\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho ]\mathrm{d}\theta$

$={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho$

对于以下的积分区域，可以看作上面情况的特例：

其积分区域D可用如下不等式表示： 特例型1：$0⩽\rho ⩽\phi (\theta ),\alpha ⩽\theta ⩽\beta$ 特例型2：$0⩽\rho ⩽\phi (\theta ),0⩽\theta ⩽2\pi$

计算方法不变。

二重积分中坐标系的变换（换元）

定理：设 $f(x,y)$ 在 $xOy$ 平面上的闭区域 D 上连续, 若变换$T:x=x(u,v),y=y(u,v)$将 uOv 平面上的闭区域 D’变为 xOy 平面上的 D， 且满足： （1）$x(u,v),y(u,v)$在 $D^{\prime }$上具有一阶连续偏导数 （2）在 D’上雅可比式$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\ne 0$ （3）变换 $T:D^{\prime }\to D$ 是一对一的 , 则有${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D^{\prime }}f[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，称为二重积分的换元公式。

（证明见 高等数学 同济 第七版（下））

注：雅可比行列式$J(u,v)=\left|\begin{array}{ll}{x}_u(u,v)& x_v(u,v)\\ y_u(u,v)& y_v(u,v)\end{array}\right|$ 上面的定理中出现的是雅可比行列式的绝对值$|J(u,v)|$

二重积分改变积分次序

二重积分选定合适的坐标系、变换为二次积分，就可以计算求解了。

如果变换积分次序，二次积分更好计算（或者不变换积分次序无法计算），可以考虑变换积分次序。

根据积分区域及其边界，可以对二次积分变换积分次序

不变换积分次序无法计算的情形： $x^{2n}{e}^{\pm x^2}dx$ $e^{\frac{1}{x}}dx$ $\sin \frac{1}{x}dx$ $\cos \frac{1}{x}dx$

三重积分的概念与性质

定积分和二重积分作为和的极限的概念，可以很容易推广到三重积分。

三重积分的定义

设 $f(x,y,z)$ 是空间有界闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 上的有界函数. 将 $\mathrm{\Omega }$ 任 意分成 $n$ 个小比区域$\mathrm{\Delta }{v}_1,\mathrm{\Delta }{v}_2,\cdots ,\mathrm{\Delta }{v}_n$，其中 $\mathrm{\Delta }{v}_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积. 在每个 $\mathrm{\Delta }{v}_i$ 上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i),$ 作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{v}_i(i=1,2,\cdots ,n),$并作和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{v}_i$， 如果各小闭区域直径中的最大值 $\lambda \to 0$ 时,这和的极限总存在,且与闭区域$$的分法及点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$ 的取法无关,那么称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\mathrm{\Omega }$ 上的三重积分，记作${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}v=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{v}_i$

其中 $f(x,y,z)$ 叫做被积函数, $\mathrm{d}v$ 叫做体积元素, $\mathrm{\Omega }$ 叫做积分区域.

直角坐标系中的三重积分

在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分 $\mathrm{\Omega }$,那么除了包含 $\mathrm{\Omega }$ 的边界点的一些不规则小闭区域外,得到的小闭区域$v_i$ 为长方体。 设长方体小闭区域 $\mathrm{\Delta }{v}_i$ 的边长为 $\mathrm{\Delta }{x}_j,\mathrm{\Delta }{y}_k$ 与 $\mathrm{\Delta }{z}_l,$ 则 $\mathrm{\Delta }{v}_i=\mathrm{\Delta }{x}_j\mathrm{\Delta }{y}_k\mathrm{\Delta }{z}_l.$ 因 此 在直角坐标系中，有 时也扑体积元素 $dv$ 记作 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z,$ 而把三重积分记作${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

三重积分的性质

三重积分的而行之与二重积分的性质一致。

这里特别注意一下三重积分奇偶性对称性。

三重积分的积分区域的对称性和被积函数的奇偶性

被积区域$\mathrm{\Omega }$关于$xOy$面对称（上下对称），设上侧区域为${\mathrm{\Omega }}_1$， $\{\begin{array}{rl}f(x,y,-z)=-f(x,y,z),& \Rightarrow {\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv=0\\ f(x,y,-z)=f(x,y,z),& \Rightarrow {\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv=2{\iint }_{{\mathrm{\Omega }}_1}f(x,y,z)dv\end{array}$

被积区域$\mathrm{\Omega }$关于$yOz$面对称（前后对称），设前侧区域为${\mathrm{\Omega }}_1$， $\{\begin{array}{rl}f(-x,y,z)=-f(x,y,z),& \Rightarrow {\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv=0\\ f(-x,y,z)=f(x,y,z),& \Rightarrow {\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv=2{\iint }_{{\mathrm{\Omega }}_1}f(x,y,z)dv\end{array}$

被积区域$\mathrm{\Omega }$关于$zOx$面对称（左右对称），设前侧区域为${\mathrm{\Omega }}_1$， $\{\begin{array}{rl}f(x,-y,z)=-f(x,y,z),& \Rightarrow {\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv=0\\ f(x,-y,z)=f(x,y,z),& \Rightarrow {\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv=2{\iint }_{{\mathrm{\Omega }}_1}f(x,y,z)dv\end{array}$

三重积分的中值定理

类似二重积分的中值定理，容易推广到三重积分

三重积分的计算

计算三重积分：在直角坐标系化为三次积分

在直角坐标系中将三重积分化为三次定积分有两种思路：投影法和截平面法

投影法计算三重积分

将空间区域$\mathrm{\Omega }$投影到平面闭区域上，如投影到$xOy$平面（或者$yOz$平面、$xOz$平面），对应的投影平面记为$D_{xy}$。

这种情况下，积分区域可表示为： $\mathrm{\Omega }=\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}$

先将$f(x,y,z)$看作z的函数（x，y先当作常数），先计算在z轴的积分，然后计算在投影区域上的二重积分，即： ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}v={\iint }_{D_y}[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x_y,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z]\mathrm{d}\sigma$

其中二重积分也可以写成二次积分，最终化为三次积分： ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$

截平面法计算三重积分

如果（以竖坐标为例）在竖坐标为z的位置，以平面将积分区域$\mathrm{\Omega }$截开，则可以根据积分区域边界条件写出截面区域$D_z$。

空间区域可以表示为： $\mathrm{\Omega }=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z,c_1⩽z⩽c_2\}$

我们可以先把z看作定值，计算在截面区域$D_z$上的二重积分，然后z轴积分，即： ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}v={\int }_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z{\iint }_{D}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

其中二重积分也可以写成二次积分，最终化为三次积分。

计算三重积分：直角坐标系转换为柱坐标系，在柱坐标系化为三次积分

直角坐标系与柱坐标系的转换

在柱坐标系中，按极向、角向、竖轴向，将积分区域$\mathrm{\Omega }$划分为许多小闭区域除，了含$$的边界点 的一些不规则小闭区域外, 这种小闭区域都是柱体.

考虑由 $\rho ,\theta$ 和 $z$ 各取得微小增量 $d,d$和 $dz$所成的柱体的体积。这个体积等于高与底面 积的乘积. 现在高为 dz、底面积在不计高阶无穷小时为 $\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$ (即极坐标系中的面积元素)，于是得柱坐标系的体积元素$\mathrm{d}v=\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$

点在直角坐标系和柱坐标系的坐标关系为： $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \\ z=z\end{array}$

直角坐标系中的三重积分化为柱坐标系中的三重积分为：

${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}F(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}F(\rho ,\theta ,z)\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$

其中$F(\rho ,\theta ,z)=f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)$

柱坐标系中投影法或截面法化为三次积分

然后类比直角坐标系中的方法，用投影法或截面法（可能按柱面截取）将三重积分化为三次积分。

计算三重积分：直角坐标系转换为球坐标系，在球坐标系化为三次积分

直角坐标系与球坐标系的转换

点的坐标在直角坐标系和球坐标系的关系为： $\{\begin{array}{l}x=OP\cos \theta =r\sin \phi \cos \theta \\ y=OP\sin \theta =r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}$

按球坐标系径向和两个角向，将积分区域$\mathrm{\Omega }$化为许多小闭区域，把积分区域 $\mathrm{\Omega }$ 分成许多小闭区域.

考虑由 r, $$ 和 $\theta$各取得微小增量 $dr,d$和 $d$所成的六面体的体积。 不计高阶无穷小,可把这个六面体看做长方体,其经线方向的长为 $rd\phi$,纬线方向的宽为$r\sin \phi d\theta$, 向径方向的高为 dr, 于是得球坐标系的体积元素$\mathrm{d}v=r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$

于是得到三重积分变量从直角坐标系转换到球坐标系的公式： ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}F(r,\phi ,\theta )r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$

球坐标系中投影法或截面法化为三次积分

然后类比直角坐标系中的方法，用投影法或截面法（可能按球面截取）将三重积分化为三次积分。

二重积分、三重积分的计算流程

综上，可以归纳二重积分、三重积分的计算流程： 1）作图，明确积分区域与边界。判断用哪种坐标比较简单 2）注意奇偶性，对称性 3）在对应的坐标系中，化为多次积分

重积分的应用

主要是定积分中元素法的推广。

应用过程中，如果变换坐标系，可以使积分区域的表达式更简单，被积函数更简单，可以考虑变换坐标系。

几何应用

曲面面积的计算

设区域D是被积曲面在$xOy$面的投影。将投影区域D划分成许多小闭区域$d\sigma$，每个小闭区域对应曲面上的一小块，而这一小块的面积近似于从小块上找个切平面对应的面积$dA$。

根据几何，有如下关系： $\mathrm{d}A=\frac{\mathrm{d}\sigma }{\cos \gamma }$ 又有： $\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}}$

由此可以得到曲面的面积元素： $\mathrm{d}A=\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}\sigma$

从而曲面的面积为：（曲面投影到$xOy$面作为积分区域计算） $A={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}\sigma ={\iint }_D\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

类似的，也可以投影到$yOz$平面计算曲面面积： $A={\iint }_{D_{yz}}\sqrt{1+{\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)}^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 同样，也可以投影到$xOz$平面计算曲面面积： $A={\iint }_{D_{\mathrm{ax}}}\sqrt{1+{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x$

物理应用

质心

由力学知道，质点系的质心坐标为：

$\overline{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum _{i=1}{m}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i},\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum _{i=1}{m}_i{y}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}$

由质心的定义，我们可以计算如下：

平面薄片的质心： $\overline{x}=\frac{M_{,}}{M}=\frac{{\iint }_{D}x\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma }{{\iint }_D\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma },\overline{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{{\iint }_{D}y\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma }{{\iint }_D\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma }$

空间物体的质心： $\overline{x}=\frac{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}x\mu (x,y,z)\mathrm{d}v}{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}\mu (x,y,z)\mathrm{d}v},\overline{y}=\frac{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}y\mu (x,y,z)\mathrm{d}v}{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}\mu (x,y,z)\mathrm{d}v},\overline{z}=\frac{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}z\mu (x,y,z)\mathrm{d}v}{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}\mu (x,y,z)\mathrm{d}v}$

转动惯量

由力学知道，质点系对于某轴的转动惯量为$I=\sum _{i=1}^n{r}_i^2{m}_i$，其中$r_i$是各质点到此轴的距离。

平面薄板的转动惯量： 在$xOy$面上的一个平面薄板， 对x轴，对y轴的转动惯量为$I_x=\sum _{i=1}^n{y}_i^2{m}_i,I_y=\sum _{i=1}^n{x}_i^2{m}_i$， 对z轴的转动惯量为$I_z=\sum _{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)m_i=I_x+I_y$

空间物体的转动惯量（以z轴为转轴）： $I_z={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}{r}_i^2{m}_i\mathrm{d}m={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(x^2+y^2)\mu (x,y,z)\mathrm{d}v$

引力

两质点间引力大小为$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$ ， 包括方向的矢量式为$\overrightarrow{F}=\frac{G{m}_1{m}_2\overrightarrow{r}}{r^3}=\frac{G{m}_1{m}_2\overrightarrow{e_r}}{r^2}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=(F_x,F_y,F_z)$

考虑一个体积为$\mathrm{\Omega }$的物体，对$(x_0,y_0,z_0)$处单位质点的引力为：$\begin{array}{rl}\mathit{F}& =({\mathit{F}}_x,{\mathit{F}}_y,{\mathit{F}}_z)\\ & =({\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\frac{\mathit{G}\mathit{\rho }(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v,{\iint }_{\mathrm{\Omega }}\frac{G\mathit{\rho }(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v,{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\frac{G\rho (x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v)\end{array}$

含参变量的积分

含参变量积分的定义

设 $f(x,y)\text{ 是矩形 ( 闭区域 })R=[a,b]\times [c,d]$ 血上的连续函数。（这是一个矩形区间，又称直区间）

$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y(a⩽x⩽b)$

这个积分的值依赖于取定的 x 值. 当 x 的值改变时,一般说来这个积分的值也跟着改变. 这个积分确定一个定义在[ a,b]上的 x 的函数,x在计算积分的过程中当作常数，通常称作参变量，$\phi (x)$称作含参变量的积分。

含参变量积分的性质

定理 1 （含参变量积分函数的连续性1） 如果函数 $f(x,y)$ 在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上连续, 那么由积分${\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数 $\phi (x)$ 在 $[a,b]$ 上也连续.

(用闭区间连续必一致连续，用以计算$\mathrm{\Delta }\phi$也趋于0，即连续。详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)

定理 2 （连续函数在直区间的积分次序可交换性） 如果函数 $f(x,y)$ 在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上连续, 那么${\int }_a^b[{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x={\int }_c^d[{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y$ 也可写成${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x$

（即函数在直区间连续，则积分次序可交换，这是重积分的性质）

定理 3 （含参变量函数的可微性1） 如果函数 $f(x,y)$ 及其偏导数 $f_x(x,y)$ 都在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上连续, 那么由积分${\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数 $\phi (x)\text{ 在[ }a,b]$ 上可微分, 并且${\phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d{f}_x(x,y)\mathrm{d}y$

(用导数的定义、一致连续性、拉格朗日中值定理证明。详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)

定理 4 （含参变量积分函数的连续性2） 如果函数 $f(x,y)$ 在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$ 上连续, 函数 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续 $,$ 且$c⩽\alpha (x)⩽d,c⩽\beta (x)⩽d(a⩽x⩽b)$, 那么由$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数$\mathrm{\Phi }(x)$也连续。

（拆项用定义证，详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)

定理 5 （含参变量函数的可微性2） 如果函数 $f(x,y)$ 及其偏导数 $f_x(x,y)$ 都在矩形 $R=[a,b]\times [c,d]$上连续, 函数 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 都在区间 $[a,b]$ 上可微, 且$c⩽\alpha (x)⩽d,c⩽\beta (x)⩽d(a⩽x⩽b)$, 那么由$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\mathrm{d}y$确定的函数$\mathrm{\Phi }(x)$也在 $[a,b]$ 上可微 $,$ 且函数的微分为：（莱布尼兹公式） $\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}{f}_x(x,y)\mathrm{d}y+f[x,\beta (x)]{\beta }^{\prime }(x)-f[x,\alpha (x)]{\alpha }^{\prime }(x)\end{array}$

（拆项用定义证，详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)