高等数学-多元微积分概述

April 03, 2020

高等数学-多元微积分概述

多元函数

多元函数是指定义域为$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$或其一部分，值域为$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R}$或$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{m}$}的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成$\displaystyle m$个定义在$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$上，值域是$ $的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即[*n*元组](https://zh.wikipedia.org/wiki/多元组)$x=(x_{1},x_{2},,x_{n})$）对应唯一一个值域中的元素，记为$f(x)$或$f(x_{1},x_{2},,x_{n})$，如下所示：

$\displaystyle f\colon {\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow &F\\(x_{1},\ldots ,x_{n})&\longmapsto &f(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{array}}$

如果线性空间$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$和$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{m}$上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为值域是$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{m}$的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是$ $的函数。比如，这种函数的导数存在的话，就称为原来多元函数的偏导数。

多元函数的分析

数学分析中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。

极限与连续性

主条目：函数极限和连续函数

设$\displaystyle E$是$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$中的一个开集，$\displaystyle f$是定义在$\displaystyle E$上的函数。给$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对$\displaystyle E$中的每个点$\displaystyle a$，$\displaystyle f$在$\displaystyle a$处连续当且仅当

在多元微积分领域，对函数极限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元标量函数，当$\displaystyle x$，$\displaystyle y$沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。[1]:19-22例如，函数

沿任何直线 $\displaystyle y=kx$ 趋近于原点 $\displaystyle (0,0)$ 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:[1]:17-19 例如, 含有两个变量的实数函数 $\displaystyle f(x,y)$，对于每一个固定的 $\displaystyle y$ ， $\displaystyle f$ 关于 $\displaystyle x$ 的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle f$ 关于 $\displaystyle y$ 的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

很容易验证，在实数域中，定义函数： $\displaystyle f_{y}(x):=f(x,y)$，则对于每一个固定的 $\displaystyle y$ ，$\displaystyle f_{y}(x)$ 在 $ $ 上连续。同理，函数$\displaystyle f_{x}$ 也是关于 $\displaystyle y$ 的连续函数。然而，函数 $\displaystyle f$ 在原点是不连续的。考虑序列 $\displaystyle f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ ( $\displaystyle n$ 为自然数)，若在原点连续其结果应为 $\displaystyle f(0,0)=0$ 。然而，通过计算知其在原点的极限为 $\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.$。因此， $\displaystyle f$ 在原点不连续。

偏导数

主条目：偏导数

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。[1]:26ff

偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子($$)依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或“PDE”。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。[1]:654ff

重积分

主条目：重积分

重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。[1]:367ff

可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等流形上进行积分。

多元微积分基本定理

在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：[1]:543ff

在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。

多元微积分基本定理将微积分基本定理拓展到了更高维度：

定理	表示	注解
梯度定理	$\displaystyle \int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理	$\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	平面内向量场中区域的标量旋度，等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理	$!!!!{, ^{3}} d ={} d $	$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}$ 内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理	$\displaystyle \int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$$\[\displaystyle \scriptstyle \partial V\] ; $	向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

向量分析

主条目：向量分析

向量分析研究欧式空间中足够光滑的标量和矢量场，即欧式空间$\displaystyle E$中的一个开集到 $ $和$E$的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。

不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的$\displaystyle E$常限制为$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$，即通常的三维空间。在这种语境下，矢量场给空间中的每个点赋予一个带有三个实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是流体力学、气象学、静电学、电动力学和地球物理学的基本工具。

向量运算

代数运算

主条目：向量

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，包括：

标量乘法
标量场和向量场相乘，产生向量场：$a $ ;
向量加法
两个向量场相加，产生向量场：$\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$ ;
内积
两个向量场相乘，产生标量场：$\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$ ;
外积
两个向量场相乘，产生向量场：$\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$ ;

还有两个三重积：

标量三重积
向量和两个向量叉积的点积： $\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ ;
向量三重积
向量和两个向量叉积的叉积： $\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ 或 $\displaystyle \left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$ ;

尽管三重积不常作为基本运算，不过仍可以用内积及外积表示。

微分运算

主条目：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子	表示	叙述	界域
梯度	$\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f$	标量场 $\displaystyle f$ 于场中某点增加率最大的速率与方向	标量场的梯度是向量场
散度	$\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}$	向量场 $\displaystyle {\vec {F}}$ 于场中某点附近发散或汇聚的程度	向量场的散度是标量场
旋度	$\displaystyle \operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}$	向量场 $\displaystyle {\vec {F}}$ 于场中某点附近旋转的程度	向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子	$\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子	$\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	对标量场 $\displaystyle f$ 作梯度运算后，再作散度运算	标量场的拉普拉斯是标量场

多元微积分的应用

这里根据定义域和值域的不同，进行划分

对象	定义域和值域	适用运算
曲线	$\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$for $\displaystyle n>1$	曲线长度,曲线积分,曲线曲率.
曲面	$\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$for $\displaystyle n>2$	表面积,曲面积分,通量,曲面曲率.
标量场	$f: ^{n} $	极大值和极小值,拉格朗日乘数,方向导数.
向量场	$\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	有关向量分析的运算,包括梯度,散度,旋度.

高等数学-多元微积分概述

高等数学-多元微积分概述

多元函数

多元函数的分析

极限与连续性

偏导数

重积分

多元微积分基本定理

向量分析

向量运算

代数运算

微分运算

多元微积分的应用

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定理	表示	注解
梯度定理	\(\displaystyle \int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\)	梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理	\(\displaystyle \int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)\)	平面内向量场中区域的标量旋度，等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理	$!!!!{, ^{3}} d ={} d $	\(\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\) 内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理	\(\displaystyle \int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =\)$\[\displaystyle \scriptstyle \partial V\] ; $	向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

算子	表示	叙述	界域
梯度	\(\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f\)	标量场 \(\displaystyle f\) 于场中某点增加率最大的速率与方向	标量场的梯度是向量场
散度	\(\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}\)	向量场 \(\displaystyle {\vec {F}}\) 于场中某点附近发散或汇聚的程度	向量场的散度是标量场
旋度	\(\displaystyle \operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}\)	向量场 \(\displaystyle {\vec {F}}\) 于场中某点附近旋转的程度	向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子	\(\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\)	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子	\(\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f\)	对标量场 \(\displaystyle f\) 作梯度运算后，再作散度运算	标量场的拉普拉斯是标量场

对象	定义域和值域	适用运算
曲线	\(\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\)for \(\displaystyle n>1\)	曲线长度,曲线积分,曲线曲率.
曲面	\(\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}\)for \(\displaystyle n>2\)	表面积,曲面积分,通量,曲面曲率.
标量场	$f: ^{n} $	极大值和极小值,拉格朗日乘数,方向导数.
向量场	\(\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\)	有关向量分析的运算,包括梯度,散度,旋度.