高等数学-微分方程习题

高等数学-微分方程习题

解一阶微分方程

解可分离变量微分方程

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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例11
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解齐次方程

齐次方程，这里指一阶[y与x齐次]微分方程

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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解可降为一阶的微分方程

解可降阶的\(y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)\)型微分方程

例1
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例2
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例3
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例4
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例5 注意技巧
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解可降阶的\(y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)\)型微分方程

例1
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例2
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例3
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线性微分方程

线性微分方程解的结构与性质

例1
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我是将解代入左边做的

例2
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例3
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解一阶线性微分方程

解一阶齐次线性微分方程：公式法/分离变数法

可以看作可分离变量的一阶微分方程来求解

也可以直接套一阶线性微分方程的公式

习题详见解可分离变量微分方程

解一阶非齐次线性微分方程：公式法/（分离变量法+常数变易法）

先用分离变量法求对应的一阶齐次线性微分方程的通解，再用分离变量法求非齐次线性方程的解。

或者直接套公式\(y=\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\left(\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C\right)\)

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例6 未完成：没有积出来
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例7
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例8 变量代换的灵活使用
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这道题把\(\cos y \frac{dy}{dx}\)看作\(\frac{d(\sin y)}{dx}\)使用\(u=siny\)的 代换，后面又使用了\(z=\frac{1}{u}\)代换，最后才变成可分离变量的微分方程。

例9
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这里是用一阶线性微分方程的公式法来解的。如果用常数变易法，就会发现x只能取\(x>0\)

例10
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例11
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这里将x看作自变量，y看作因变量，就可以解了

例12
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解常系数线性微分方程

解常系数齐次线性微分方程：特征方程法

例1
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这里，给了常系数齐次线性微分方程的特解，对应通解的形式为\(y= C_1 e^{r_1 x} + e^{\alpha x} (C_2 \cos \beta x + C_3 \sin \beta x)\)，从而可以确定对应的特征方程的特征值，继而确定特征方程，最后确定常系数齐次线性微分方程的系数。

例2
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例3
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例4
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解常系数非齐次线性微分方程：特征方程法+待定系数法

解常系数非齐次线性微分方程，需要先用特征方程法求出对应的齐次方程通解，再用待定系数法求出非齐次方程特解，最终得到非齐次线性方程通解

例1
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例2
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例3
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例4
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例5
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例5
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例6
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例7
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例8
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例9
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例10
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非线性方程

解伯努利方程

例1
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解欧拉方程

例1
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例2
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全微分方程

例1
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