高等数学-级数

高等数学（数学分析）主要分为两块，微积分与级数。两者都建立在函数的极限理论之上。

级数是表示函数、研究函数性质以及数值计算的一种工具。函数可以展开成幂级数、三角级数的形式，级数也可以求其对应的和函数，因此把函数展开到级数形式可以研究函数的一些性质，也可以用级数计算函数。

常数项级数部分主要介绍级数的概念与一般性质。 函数项级数主要介绍幂级数、和三角级数（包括Fourier级数），着重讨论函数展开成幂级数、三角级数的问题，以及函数项级数表示成和函数的问题。

级数的基本概念与性质

级数的定义

高中我们已经学过数列。

简单的讲，无穷数列的和，就是级数。记为\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)。 级数定义：给定一个无穷数列\(u_{1}, u_{2}, u_{3}, \cdots, u_{n}, \cdots\)，则\(\sum_{i=1}^{\infty} u_{i}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{i}+\cdots\)称为级数，其中的第n项\(u_n\)称为一般项。

当级数的各项\(a_i\)都是常数时，形成的级数叫常数项级数； 当级数的各项\(a_i\)都是关于x的函数时，形成的级数叫函数项级数。 当级数的各项\(a_i\)都是复数时，形成的级数叫复数项级数；

类比研究反常积分的过程，研究反常要从正常开始，研究无限要从有限开始。 为了研究无限的级数，我们可以先看有限的部分和（前n项和）。 \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\)，称为级数的部分和（前n项和）。

二重级数：给定带有两个下标i和j的无穷数集{aij}(i=1,2,…;j=1,2,…)，称记号a11+a12+…+a21+a22+…+a31+a32+…是二重级数(double series)。记作\(\sum_{m=1,n=1}^{\infty} a_{mn}\)，也可记作\(\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_{mn}\)，其中m，n各自独立地取正整数1，2，3，…

级数的收敛、发散、和的概念

如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = S\)，称级数${n=1}^{} a_n \(**收敛**于S，这时S又称作级数\){n=1}^{} a_n $的和

如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)的部分和\(\lim_{n \rightarrow \infty} S_n\)不存在，称级数$_{n=1}^{} a_n $发散。

级数的性质

级数的四则运算性质

级数加减法、乘法，结果的收敛区间取原来两级数的收敛区间\((-R_1, R_1)\)和\((-R_2,R_2)\)中较小的一个. 级数的数乘不改变收敛区间， 级数的除法可能比原来两级数的收敛区间小得多（不做讨论）

级数的加减法性质（逐项相加、相减性质）

\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n \pm \Sigma_{n=1}^{\infty} b_n = \Sigma_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n)\)

收敛级数的加减法：如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n = A, \Sigma_{n=1}^{\infty} b_n = B\)，则\(\Sigma_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B\)。即两个级数都收敛，和/差一定收敛。

另外有： 两个级数，一个发散，一个收敛，和/差一定发散。 两个级数，都发散，和/差的敛散性不确定。

级数的数乘性质

如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n = S\)，则\(\Sigma_{n=1}^{\infty} k a_n = kS\)

也即\(k \neq 0\)时，数乘级数敛散性不变。

级数加减数性质：改变级数的有限项，不改变级数敛散性

级数前[添加、减少、改变]有限项，不改变级数的敛散性

级数的乘法性质：柯西乘积

级数的乘法 \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \right)\cdot \left(\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\right)\)

柯西乘积：对于级数的乘法，若按“对角线法”排列结果，得\(u_{1} v_{1}+\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+\cdots+\left(u_{1} v_{n}+u_{2} v_{n-1}+\cdots+u_{n} v_{1}\right)+\cdots\)， 称此结果级数为两级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\) 的柯西乘积.（上面级数中括号内的作为一项） 注：

级数的除法性质

\(\frac{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots}{b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{n} x^{n}+\cdots}=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}+\cdots\)，将左端分母乘到右边，右端变成级数乘法（柯西乘积），用待定系数法可确定系 数 \(c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}, \cdots,\)

级数内添加括号可以提高收敛性

定理：如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛, 那么对这级数的项任意加括号后所成的级数$(u_{1}++u_{n_{1}})+(u_{n_{1}+1}++u_{n_{2}})++(u_{n_{k-1}+1}++u_{n_{k}})+$仍收敛，且其和不变.

（其中每个括号对看作一项） （证明用到：数列极限性质：数列有极限，子列一定有极限）

原级数收敛，添加括号后的级数（更）收敛 如果级数添加括号后发散，那么原级数（更）发散

例1， 级数$ 1 - 1 + 1 - 1 +1 - 1 …\(发散，而级数\) (1 - 1) + (1 - 1) +(1 - 1) …$收敛

例2，如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)收敛，则\(\Sigma_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} + a_{2n}) = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + ...\)收敛.

级数内添加绝对值可以提高发散性

级数收敛的必要条件（\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0\)）

如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)收敛，则\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0\)。反之则不对。

证明：（无穷级数的证明，一般从有限的部分和证起） \(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\)， 因为\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)收敛，所以\(\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = S\) 因为\(a_n = S_n - S_{n-1}\)，则\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n - \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n-1} = S - S = 0\)。

级数收敛的充分必要条件（柯西审敛原理）

级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定 的正数 \(\varepsilon,\) 总存在正整数 \(N,\) 使得当 \(n>N\) 时,对于任意的正整数 \(p\),都有\(\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon\)成立.

（用级数的和来证明，并用到：数列极限存在的柯西极限存在准则）

常数项级数

常数项级数的定义

级数的各项都是常数，则此级数就称为常数项级数。

两种重要的级数：p级数与几何级数

p级数和几何级数是两类比较重要的级数。其他级数审敛时，常用这两种级数作为参照级数。

p级数

级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\)称为p级数。

当\(p>1\)时，级数\(\Sigma \frac{1}{n^p}\)收敛。 当\(p\leq 1\)时，级数\(\Sigma \frac{1}{n^p}\)发散。

注：当\(p=1\)时，级数 \(\Sigma \frac{1}{n^p}= \frac{1}{n}\)称为调和级数，此级数发散。（调和级数发散的证明用反证法：假设收敛于和S，证\(\lim_{n\rightarrow \infty} S_{2n} - S_{n} = \frac{1}{n+1} + ...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\)，与\(\lim_{n\rightarrow \infty} S_{2n} - S_{n} = S - S = 0\)矛盾）

几何级数

级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a q^n (a \neq 0 )\)称为几何级数

当\(|q|<1\)时，几何级数${n=1}^{} a q^n \(收敛，收敛于\)$ 当\(|q| \ge 1\)时，几何级数${n=1}^{} a q^n $发散

正项级数与交错级数

数列各项都是非负常数，由此数列之和构成的级数叫做正项级数； 数列的项正负常数交错，由此数列之和构成的级数叫做交错级数。

下面单独分节讨论正项级数与交错级数

常数项级数：正项级数

正项级数的定义

\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n \quad (a_n \ge 0, n = 1,2,...)\)，称为正项级数

正项级数的性质

在一般级数的性质的基础上，正项级数还有如下性质：

正项级数的部分和是随n递增的，即\(S_1 \le S_2 \le S_3 ...\)

正项级数收敛的充分必要条件：它的部分和数列$ { s_n}\(有界. 即：正项级数的\)S_n\(无上界，则\){n} S_n = + \(，即正项级数\){n=1}^{} a_n\(必发散于正无穷。正项级数的\)S_nM\(，则\){n} S_n \(存在，即正项级数\){n=1}^{} a_n$必收敛。

正项级数的审敛法

比较审敛法

比较审敛法基本形式

\(a_n \ge 0, b_n \ge 0\)， 1）当\(a_n \le b_n\)，且\(\Sigma_{n=1}^{\infty} b_n\)收敛，则正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)收敛。 2）当\(a_n \ge b_n\)，且\(\Sigma_{n=1}^{\infty} b_n\)发散，则正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)发散。

（推论：\(a_n \le k b_n\)，且\(\Sigma_{n=1}^{\infty} b_n\)收敛，则正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)收敛。）

（都由正项级数收敛的充分必要条件证明）

比较审敛法极限形式

\(a_n > 0, b_n > 0\)， 且\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n} = l \quad (0\le l<+\infty)\)，已知正项级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n\)和的敛散性，则\(\Sigma_{n=1}^{\infty} b_n\)有相同的敛散性。

比值审敛法（达朗贝尔审敛法）

\(a_n > 0, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho\) 1）$<1 \(时，\){n=1}^{} a_n\(收敛。 2）\)>1 \(时，\){n=1}^{} a_n\(发散。 3）\) \(时，\)_{n=1}^{} a_n$的敛散性不确定。

（此方法在含阶乘的级数中好用）

根值审敛法（柯西审敛法）

\(a_n > 0, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho\) 1）$<1 \(时，\){n=1}^{} a_n\(收敛。 2）\)>1 \(时，\){n=1}^{} a_n\(发散。 3）\) \(时，\)_{n=1}^{} a_n$的敛散性不确定。

（此方法在含n次幂的级数中好用）

极限审敛法

实际上是与p级数的比较，比较审敛法的极限形式

设 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 为 正项级数， 1）如果 \(\lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=l>0\left(\right.\) 或 \(\left.\lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=+\infty\right)\)，那么级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 发散； 2）如果 \(p>1,\) 而 \(\lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} u_{n}=l(0 \leqslant l<+\infty)\)，那么级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 收敛.

常数项级数：交错级数

交错级数定义

\(\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 ..., \quad a_n >0\)， 或者\(\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n = - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 ..., \quad a_n >0\)， 都称作交错级数

以上两种交错级数，实际上只差了一个常数\(k=-1\)，由级数性质可知，两级数敛散性相同。

交错级数的审敛

莱布尼兹法（Leibniz法）

设\(\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n, \quad a_n >0\)， 若\(\{a_n\}\)单调递减， 且\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0\)， 则交错级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n, \quad a_n >0\)收敛，且收敛位置\(S \le a_1\)，并有余项 \(r_{n}\) 的绝对值 \(\left|r_{n}\right| \leqslant u_{n+1}\)

eg1：\(\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)是否收敛？ 由于此交错级数的\(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\)，随n单调递减， 且\(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0\)， 根据莱布尼兹审敛法可知，此交错级数\(\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)收敛

Q1：${n=1}^{} a_n \(收敛，\){n=1}^{} a_n^2 \(收敛吗？ A1：不一定，比如eg1中交错级数\){n=1}^{} \(收敛，但是调和级数\){n=1}^{} $发散。

Q1：\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n \quad (a_n \ge 0)\)收敛，${n=1}^{} a_n^2 \(收敛吗？ A1：\){n=1}^{} a_n^2 (a_n ) $一定收敛

条件收敛与绝对收敛

条件收敛定义

${n=1}^{} a_n \(收敛，而\){n=1}^{} |a_n| \(发散，称\)_{n=1}^{} a_n $条件收敛。

eg： \(1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} ...\)收敛， \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}...\)发散， 称上面的级数条件收敛。

绝对收敛定义

${n=1}^{} |a_n| \(收敛，称\){n=1}^{} a_n $绝对收敛。

注：级数内取绝对值号可以提高发散性。

绝对收敛级数的性质

（绝对收敛，无绝对值也收敛）如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 绝对收敛,那么级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 必定收敛.

（绝对收敛级数具有可交换性 ）绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛,且与原级数有相同的和。（在二重级数、柯西乘积到正方形法级数乘积的转换种比较有用）

（绝对收敛级数的乘法）设级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\) 都绝对收敛 \(.\) 其和 分别为 \(s\) 和 \(\sigma,\) 则它们的柯西乘积\(u_{1} v_{1}+\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+\cdots+\left(u_{1} v_{n}+u_{2} v_{n-1}+\cdots+u_{n} v_{1}\right)+\cdots\)也是绝对收敛的,且其和为 \(s\sigma\)

注意柯西乘积（级数乘法）与二重积分（加法）的区别： 二重级数：给定带有两个下标i和j的无穷数集{aij}(i=1,2,…;j=1,2,…)，称记号a11+a12+…+a21+a22+…+a31+a32+…是二重级数(double series)。记作\(\sum_{m=1,n=1}^{\infty} a_{mn}\)，也可记作\(\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_{mn}\)，其中m，n各自独立地取正整数1，2，3，… 柯西乘积：按“对角线法”排列组成的级数\(u_{1} v_{1}+\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+\cdots+\left(u_{1} v_{n}+u_{2} v_{n-1}+\cdots+u_{n} v_{1}\right)+\cdots\)为两级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\) 的柯西乘积.记作 \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \right)\cdot \left(\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\right)\) 注：

函数项级数

函数项级数的定义

级数的项是函数构成的，称此级数为函数项级数。

函数项级数定义：如果给定一个定义在区间 I 上的函数列\(u_{1}(x), u_{2}(x), u_{3}(x), \cdots, u_{n}(x), \cdots,\)称为定义在区间 I 上的( 函数项)无穷级数,简称( 函数项) 级数.

对于每一个确定的值 \(x_{0} \in I,\) 函数项级数成为常数项级数\(u_{1}\left(x_{0}\right)+u_{2}\left(x_{0}\right)+u_{3}\left(x_{0}\right)+\cdots+u_{n}\left(x_{0}\right)+\cdots\)。当\(x=x_0\)或者\(x\)暂时看作常数时，级数可看作常数项级数。即常数项级数的性质在函数项级数中仍可用。

函数项级数可能收敛也可能发散. 如果取\(x=x_0\)时级数收敛, 就称点 \(x_{0}\) 是函数项级数的收敛点 ; 如果取\(x=x_0\)时级数发散, 就称点 \(x_{0}\) 是函数项级数的发散点. 函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域, 发散点的全体称为它的发散域.

依照前面级数的相关概念：\(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\)，称为级数的部分和（前n项和）。如果\(\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = S\)，称级数${n=1}^{} a_n \(**收敛**于S，这时S称作级数\){n=1}^{} a_n $的和。 对应于收敛域内的任意一个数 x,函数项级数成为一收剑的常数项级数,因而有一确定的和 s. 这样,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 \(s(x)\)，通常称\(s(x)\) 为函数项级数的和函数

函数项级数的性质（未掌握）

函数项级数的每项都在区间上连续，函数项级数的和函数不一定在区间上连续。 函数项级数每一项的导数或积分之和 不一定等于和函数的导数或积分。

函数项级数的一致收敛定义

设有函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) .\) 如果对于任意给定的正数 \(\varepsilon,\) 都存在着一个只依赖于 \(\varepsilon\) 的正整数 \(N,\) 使得当 \(n>N\) 时,对区间 I 上的一切 \(x\),都有不等式\(\left|r_{n}(x)\right|=\left|s(x)-s_{n}(x)\right|<\varepsilon\)成立,那么称函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在区间 \(I\) 上一致收敛于和 \(s(x),\) 也称函数序列 \(\left\{s_{n}(x)\right\}\) 在区间 \(I\) 上一致收敛于 \(s(x) .\)

函数项级数一致收敛的充分条件

定理( 魏尔斯特拉斯( Weierstrass ) 判别法 ) \(\quad\) 如果函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在 区间 I 上满足条件 : 1）\(\left|u_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}(n=1,2,3, \cdots)\) 2）正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\) 收敛 那么函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在区间 \(I\) 上一致收敛.

一致收敛的函数项级数的性质

定理 1（在区间上各项都连续、且一致连续的级数，其和函数也连续） \(\quad\) 如 果 级 数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 的 各 项区间 \([a, b]\) 上 都 连 续，且\(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(s(x),\) 那么 \(s(x)\) 在 \([a, b]\) 上也连续.

定理 2（在区间上各项都连续、且一致连续的级数，逐项可积） \(\quad\) 如 果 级 数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 的 各 项 \(u_{n}(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上 连 续，且\(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛于 \(s(x),\) 那 么级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在 \([a, b]\) 上 可 以逐项 积分, 即\(\int_{x_{0}}^{x} s(x) \mathrm{d} x=\int_{x_{0}}^{x} u_{1}(x) \mathrm{d} x+\int_{x_{0}}^{x} u_{2}(x) \mathrm{d} x+\cdots+\int_{x_{0}}^{x} u_{n}(x) \mathrm{d} x+\cdots\)其中 \(a \leqslant x_{0}<x \leqslant b,\) 并且上式右端的级数在[ $.a, b]$ 上也一致收敛。

定理 3 （在区间上各项都有连续导数、且一致连续的级数，逐项可导）\(\quad\) 如果级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上收敛于和 \(s(x)\). 它的各项 \(u_{n}(x)\)都具有连续导数 \(u_{n}^{\prime}(x),\) 并且级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}(x)\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛,那 么级数\(\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)\) 在 \([a, b]\) 上也一致收敛,且可逐项求导,即\(s^{\prime}(x)=u_{1}^{\prime}(x)+u_{2}^{\prime}(x)+\cdots+u_{n}^{\prime}(x)+\cdots\)

定理 4 （幂级数一定一致连续）\(\quad\) 如果幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\) 的幂级数半径为 \(R>0,\) 那么此级数在( \(\left.-R, R\right)\)内的任一闭区间[ a,b]上一致收敛.

定理 5 （幂级数可逐项求导，且收敛半径不变）如果幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\) 的收敛半径为 \(R>0,\) 那么其和函数 \(s(x)\) 在\((-R, R)\) 内可导,且有逐项求导公式\(s^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}\)逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.

函数项级数：幂级数

相对于常数项级数，如果级数的项中含有函数，则称为函数项级数。 函数项级数取值，就变成了常数项函数。

幂级数属于函数项级数，是各项都是常数乘幂函数的函数项级数。

幂级数的定义

\(\Sigma_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...\) \(\Sigma_{n=0}^{\infty} = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + ...\) 都称为幂级数。第二种可以通过换元变成第一种形式。

函数项级数取值，就变成了常数项函数。（幂级数属于函数项级数）

eg：幂级数： \(\Sigma_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 1 + x + x^2 + ...\) 取\(x = \frac{1}{2}\)， 则级数变为\(\Sigma_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^n\)，级数收敛，即\(x=\frac{1}{2}\)是收敛点； 取\(x = 3\)，则级数变为\(\Sigma_{n=0}^{\infty} 3^n\)，级数发散，即\(x=3\)是发散点。

函数项级数特别关注使级数收敛的点（收敛点），即所有收敛点的集合（收敛域）

幂级数的性质

在一般级数的性质的基础上，幂级数还有如下性质

阿贝尔定理（Abel）：收敛半径的存在性

如 果 级 数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\) 在当\({x}=x_{0} \quad\left(x_{0} \neq 0\right)\) 时 收敛，那么适合不等式 I \(x|<| x_{0} \mid\) 的一切 \(x\) 使这幂级数绝对收敛. 反之,如果级数${n=0}^{} a{n} x^{n} \(在当\)x = x_{0}$ 时发散，那么适合不等式 | \(x|>| x_{0} \mid\) 的一切 \(x\) 使 这 幂级数发散。

推论（收敛半径一定存在）：对于幂级数\(\Sigma_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)，存在\(R \ge 0\)， 1）当\(|x| < R\)，或者\(-R < x < R\)时，幂级数绝对收敛。 2）当$|x| >R \(时，幂级数发散。 3）当\)|x| = R$时，幂级数的收敛性不确定，需要具体分析。

收敛半径R的计算定理

对于幂级数$_{n=0}^{} a_n x^n $ 若\(\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho\)或者\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho\)， 则： 1）当\(\rho = 0\)时，收敛半径\(R = + \infty\) （处处收敛） 2）当\(\rho = +\infty\)时，收敛半径\(R = 0\) （只有收敛点\(x=0\)） 3）当\(0<\rho<+\infty\)时，收敛半径\(R = \frac{1}{\rho}\)

注：对于收敛域的计算，除了计算收敛半径，还需要讨论一下两个边界是否收敛。

eg1：\(\Sigma_{n=0}^{\infty} n! x^n\)的收敛半径R、收敛域？ \(\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} (n+1) = + \infty\) 则收敛半径R=0，收敛域{0}

eg2：\(\Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)的收敛半径R、收敛域？ \(\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1} = 0\) 则此幂级数的收敛半径\(R=+\infty\)，收敛域\((-\infty, +\infty)\)

eg3：${n=0}^{} $的收敛半径R、收敛域？ ${n } | | = _{n } {2^{n+1} (n+1)} = $ 则此幂级数收敛半径R=2. 当\(x=-2\)时，级数变为\(\Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{2^n \cdot n} = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\)，此级数收敛； 当\(x=2\)时，级数变为\(\Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^n \cdot n} = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}\)，此级数发散； 综上，此幂级数的收敛域为\([-2,2)\)

幂级数的运算性质

级数的四则运算性质

幂级数的分析性质（微积分性质）

幂级数${n=0}^{} a_n x^n, x (-R, R) \(，实际上可看作一个x的函数，称\)S(x) = {n=0}^{} a_n x^n $为幂级数的和函数。

幂级数的逐项可导性

对于幂级数${n=0}^{} a_n x^n, x (-R, R) \(， 有\)({n=0}^{} a_n x^n )^= S^(x) = {n=0}^{} (a_n xⁿ⁾= {n=0}^{} n a_n x^{n-1}$ 且\(\Sigma_{n=0}^{\infty} n a_n x^(n-1)\)的收敛半径仍为R不变。（但是端点处的收敛性可能发生变换，所以收敛域也可能发生变化）

幂级数的逐项可积性

对于幂级数$_{n=0}^{} a_n x^n, x (-R, R) \(， 有\)0^x ( {n=0}^{} a_n x^n) dx = 0^x S(x) dx = {n=0}^{} 0^x a_n x^n dx = {n=0}^{} x^{n+1}$ 且\(\Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}\)的收敛半径仍为R不变。（但是端点处的收敛性可能发生变换，所以收敛域也可能发生变化）

幂级数的和函数必连续

幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\) 的和函数 \(s(x)\) 在其收敛域 \(I\) 上连续.

和函数和幂级数的互相变换

举例说明一下函数和级数的互换， \(\Sigma_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad (-1<x<1)\)，左边到右边称为函数项级数求和函数。 \(\frac{1}{1-x} = \Sigma_{n=0}^{\infty} x^n, \quad (-1<x<1)\)，左边到右边称为函数展开成级数。

函数展开成幂级数

直接法（公式法：泰勒级数、麦克劳林级数）

根据泰勒公式： 若\(f(x)\)在\(x_0\)的邻域内\((n+1)\)阶可导， 则\(f(x)\)可展开到\((n+1)\)阶：\(f(x) = P_n (x) + R_n(x)\) \(P_n(x) = f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\)是主要部分， 余项可以写成：\(R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}\)称为拉格朗日余项， 余项也可以写成：\(R_{n}(x)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\)称为皮亚诺余项。

当\(f(x)\)可展开的阶数\((n+1) \rightarrow \infty\)时，有泰勒级数的概念： 若\(f(x)\)在\(x_0\)的邻域内任意阶可导， 则\(f(x)\)可展开为级数： \(f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \\= f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+...\)

定理（函数能展开称泰勒级数的充分必要条件）：设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一邻域 \(U\left(x_{0}\right)\) 内具有各阶导数 , 则 \(f(x)\) 在该 邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内 \(f(x)\) 的泰勒公式中的余项 \(R_{n}(x)\) 当 \(n \rightarrow \infty\) 时的极限为零,即\(\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0, x \in U\left(x_{0}\right)\)

直接法展开成泰勒级数的步骤：求函数各阶导，确认任意阶可导；写出泰勒级数，并确认余项趋于零\(\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0\)

当泰勒级数的展开位置\(x_0 = 0\)时，相应的，叫做麦克劳林级数： 若\(f(x)\)在\(x_0=0\)的邻域内任意阶可导， 则\(f(x)\)可展开为级数： \(f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \\= f\left(0\right)+\frac{f^{\prime}\left(0\right)}{1 !} x +\frac{f^{\prime \prime}\left(0\right)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(0\right)}{n !} x^{n}+...\)

常见函数的麦克劳林级数

间接法（借助常用麦克劳林展开、逐项可导、逐项可积性质）

间接法工具

常用函数的麦克劳林展开（在\(x_0=0\)附近展开） 幂级数逐项可导性质 幂级数逐项可积性质

在指定位置附近展开成幂级数的例题：

eg1：将\(f(x) = \frac{1}{x^2-1}\)展开成\((x-2)\)的幂级数 （或者说，在\(x_0=2\)附近展开成幂级数） \(f(x)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1} -\frac{1}{x+1}\right)\) \(\frac{1}{x-1} = \frac{1}{1+(x-2)}= \Sigma_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-2)^n , \quad (-1<x<3)\) \(\frac{1}{x+1} = \frac{1}{3+(x-2)} = \frac{1}{3} \frac{1}{1+ \frac{x-2}{3}} = \frac{1}{3} \Sigma_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x-2}{3}\right)^n = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (x-2)^n, \quad (-1<x<5)\) 所以\(f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2} \left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(x-2)^n, \quad (1<x<3)\)

eg2：\(f(x) = \frac{5x-1}{x^2-x-2}\)展成\((x-1)\)的幂级数（或者说，在\(x_0=1\)附近展开成幂级数） \(f(x)=\frac{5x-1}{(x-2)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}, \quad \Rightarrow A = 2,B=3\) \(f(x) = 2 \frac{1}{x+1} + 3 \frac{1}{x-2}\) \(\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2+(x-1)}= \frac{1}{2} \frac{1}{1+\frac{x-1}{2}} = \frac{1}{2} \Sigma_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^2 = \Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-1)^n, \quad (-1<x<3)\) \(\frac{1}{x-2} = \frac{1}{-1+(x-1)} = - \frac{1}{1-(x-1)} = - \Sigma_{n=0}^{\infty} (x-1)^n , \quad (0<x<2)\) 所以\(f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{2^n} - 3 \right] (x-1)^n, \quad (0<x<2)\)

幂级数求和函数

幂级数求和函数工具

常见的麦克劳林展开 幂级数逐项可导性质 幂级数逐项可积性质

类型一：\(\Sigma_{n=0}^{\infty} P(n) x^n\)求和函数

解法

幂级数逐项可导性质 麦克劳林级数\(\Sigma_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}, \quad (-1<x<1)\) 麦克劳林级数\(\Sigma_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}, \quad(-1<x<1)\)

eg1：给定幂级数$_{n=1}^{} n x^{n+1} \(,求其和函数\)S(x)$ 1）先求收敛域： \(\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1\)，得收敛半径\(R = 1\) 当\(x = \pm 1\)时，\(n(-1)^{n+1} \nrightarrow 1 (n \rightarrow \infty)\) 所以收敛域\((-1,1)\) 2）求和函数： \(S(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} n x^{n+1} = x^2 \Sigma_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}\) \(=x^2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (x^n)^{\prime} = x^2 x^2 \left(\Sigma_{n=1}^{\infty} x^n\right)^{\prime}\) \(=x^2 \left(\frac{x}{1-x}\right)^{\prime}\)

eg2：$_{n=0}^{} n^2 x^n \(， 求\)S(x)$

1）先求收敛域 $_{n} | | = 1 $ 则收敛半径\(R = 1\) 当\(x= \pm 1\)时，\(n^2 (\pm 1) ^n \nrightarrow 0 (n \rightarrow \infty)\) 所以收敛域\((-1,1)\) 2）求\(S(x)\) \(S(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} n^2 x^n\) \(= \Sigma_{n=1}^{\infty} n^2 x^n\) \(=\Sigma_{n=1}^{\infty} [n(n-1) +n] x^n\) \(=\Sigma_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^n + \Sigma_{n=1}^{\infty} n x^n\) \(=x^2 \Sigma_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} + x\Sigma_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}\) \(=x^2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (x^n)^{\prime\prime} + x\Sigma_{n=1}^{\infty} (x^n)^{\prime}\) \(=x^2 \left(\Sigma_{n=1}^{\infty} x^n\right)^{\prime\prime} + x \left(\Sigma_{n=1}^{\infty} x^n\right)^{\prime}\) （这里将括号内的幂级数，看作收敛的几何级数，几何级数的极限为\(\frac{a_1}{1-q}\)） \(=x^2 \left(\frac{x^2}{1-x} \right)^{\prime\prime} + x \left(\frac{x}{1-x} \right)^{\prime}\)

类型二：\(\Sigma_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{P(n)}\)求和函数

解法

麦克劳林级数\(ln(1+x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n\)，注意这个级数从n=1开始 \((-1<x \le 1)\) 麦克劳林级数\(-ln(1-x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\)注意这个级数从n=1开始 \((-1 \le x < 1)\) 麦消灭分母

, (-1 x<1) and x $ 当\(x=1\)时，\(S(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} =1\) 综上， \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & , x=0 \\ 1 & , x=1 \\ \left(\frac{1}{x}-1\right) \ln (1-x)+1, & -1 \leq x<1,\text{且} x \neq 0\end{array}\right.\)

eg2：\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n}\), 求\(S(x)\) 1）先求收敛域： \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=1\) 得收敛半径\(R=1\) 且\(x= \pm 1\)时，\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}\)收敛（交错级数单调递减，且\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n =0\)，由莱布尼兹审敛法可得此级数收敛） 所以收敛域\([-1,1]\) 2）再求\(S(x)\) 当\(x=0\)时，\(S(0) = 1\) 当\(x \neq 0\)时，(下面步骤中将级数看作几何级数，几何级数收敛于\(\frac{a_1}{1-q}\),可以方便的转换成和函数的形式) \(\begin{aligned} x S(x) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1} \\ &=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \int_{0}^{x} x^{2 n} d x \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x}(-1)^{n} x^{n} d x \\ &=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}\right) d x \\ &=\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x \\ &=\arctan x \end{aligned}\) \((-1<x^2 \le 1)\)，即\((-1 \le x \le 1)\)

所以\(S(x) = \frac{\arctan x} {x}, \quad (-1 \le x \le 1)\) 综上， \(S(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & x=0 \\ \frac{a \arctan x}{x}, & -1 \leq x \leq 1 \text { R } x \neq 0\end{array}\right.\)

幂级数的应用

指数、对数、分数次幂、正余弦、定积分的近似计算

分数次幂的近似计算

eg1：计算 \(\sqrt[5]{240}\) 的近似值,要求误差不超过 0.0001.

\(\sqrt[5]{240}=\sqrt[5]{243-3}=3\left(1-\frac{1}{3^{4}}\right)^{1 / 5}\) 根据二项展开式\((1+x)^{m}=1+m x+\frac{m(m-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{m(m-1) \cdots(m-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots\)，收敛域\((-1<x<1)\) 取\(m=\frac{1}{5}, x=-\frac{1}{3^{4}},\) 即得： \(\begin{aligned} \sqrt[5]{240}=3 &\left(1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^{4}}-\frac{1 \cdot 4}{5^{2} \cdot 2 !} \cdot \frac{1}{3^{8}}-\frac{1 \cdot 4 \cdot 9}{5^{3} \cdot 3 !} \cdot \frac{1}{3^{12}}-\cdots-\right.\\ &\left.\frac{1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cdots \cdot(5 n-6)}{5^{n} \cdot n !} \cdot \frac{1}{3^{4 n}}-\cdots\right) \end{aligned}\) 误差包括舍入误差和截断误差。 计算时保留到小数点后5位，首先保证舍入误差不超过 0.0001 取上式前两项时，截断误差（余项大小）： \(\begin{aligned}\left|r_{2}\right| &=3\left(\frac{1 \cdot 4}{5^{2} \cdot 2 !} \cdot \frac{1}{3^{8}}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 9}{5^{3} \cdot 3 !} \cdot \frac{1}{3^{12}}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 14}{5^{4} \cdot 4 !} \cdot \frac{1}{3^{16}}+\cdots\right) \\ &<3 \cdot \frac{1 \cdot 4}{5^{2} \cdot 2 !} \cdot \frac{1}{3^{8}}\left[1+\frac{1}{81}+\left(\frac{1}{81}\right)^{2}+\cdots\right] \\ &=\frac{6}{25} \cdot \frac{1}{3^{8}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{81}}=\frac{1}{25 \cdot 27 \cdot 40}<\frac{1}{20000} \end{aligned}\) 则取级数前两项时，得： \(\sqrt[5]{240} \approx 3\left(1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^{4}}\right) \approx 2.9926\)

对数的近似计算

eg1：计算 ln 2 的近似值,要求误差不超过 0.000 1.

方法1： 有级数展开式：\(ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... = \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \quad (-1<x \leqslant 1)\) 假设取前n项作为近似值，由收敛的交错级数性质知，余项（正好是近似计算时的截断误差）： \(\left|r_{n}\right| \leqslant \frac{1}{n+1}\) 需要取前10000项计算才能保证截断误差不超过 0.000 1. 下面找收敛更快的级数做近似计算

方法2： 级数展开式：\(\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\cdots \quad(-1<x \leqslant 1)\) x换为-x，得：\(\ln (1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{(-x)^{n}}{n}+\cdots \quad(-1 \leqslant x<1)\) 两式相减，只含奇数次幂： \(\begin{aligned} \ln \frac{1+x}{1-x} &=\ln (1+x)-\ln (1-x) \\&=2\left(x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+\frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots\right)(-1<x<1) \end{aligned}\) 令 \(\frac{1+x}{1-x}=2,\) 解 出 \(x=\frac{1}{3} .\) 以 \(x=\frac{1}{3}\) 代 入： \(\ln 2=2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^{5}}+\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3^{7}}+\cdots+\frac{1}{2 n+1} \cdot \frac{1}{3^{2 n+1}}+\cdots\right)\) 取前四项，其截断误差（余项）为： \(\begin{aligned}\left|r_{4}\right| &=2\left(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3^{9}}+\frac{1}{11} \cdot \frac{1}{3^{11}}+\frac{1}{13} \cdot \frac{1}{3^{13}}+\cdots+\frac{1}{2 n+1} \cdot \frac{1}{3^{2 n+1}}+\cdots\right) \\ &<\frac{2}{3^{11}}\left[1+\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{9}\right)^{2}+\cdots+\left(\frac{1}{9}\right)^{n}+\cdots\right] \\ &=\frac{2}{3^{11}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{4 \cdot 3^{9}}<\frac{1}{70000} \end{aligned}\) 计算时，取小数点后5位，首先保证舍入误差不超过 0.000 1. 则取级数前四项，得： \(\ln 2 \approx 2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^{5}}+\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3^{7}}\right)\approx 0.6931\)

微分方程的幂级数解法

一阶微分方程的幂级数解法

一阶微分方程\(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=f(x, y)\)，给定初值条件： \(\left.y\right|_{x=x_{0}}=y_{0}\) 如果其中 函数 \(f(x, y)\) 是 \(\left(x-x_{0}\right),\left(y-y_{0}\right)\) 的多项式，即：\(f(x, y)=a_{00}+a_{10}\left(x-x_{0}\right)+a_{01}\left(y-y_{0}\right)+\cdots+a_{l m}\left(x-x_{0}\right)^{l}\left(y-y_{0}\right)^{m}\)， 那么可设所求特解为：\(y=y_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\cdots\) 可用待定系数法求解其中系数 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\)

eg1：求方程 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-y-x\) 满足 \(\left.y\right|_{x=0}=2\) 的特解.

\(x_{0}=0, y_{0}=2\)，设方程的特解为\(y=2+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots\) 则\(y^{\prime}=a_{1}+2 a_{2} x+\cdots+n a_{n} x^{n-1}+\cdots\) 代入方程得：\(a_{1}+2 a_{2} x+\cdots+n a_{n} x^{n-1}+\cdots=-2-\left(a_{1}+1\right) x-a_{2} x^{2}-\cdots-a_{n} x^{n}-\cdots\) 得\(a_{1}=-2,2 a_{2}=-\left(a_{1}+1\right), 3 a_{3}=-a_{2}, \cdots, n a_{n}=-a_{n-1}, \cdots\) 得\(a_{1}=-2\)，\(a_{n}=(-1)^{n} \frac{1}{n !}(n \geqslant 2)\) 则微分方程得解为： \(\begin{aligned} y &=2-2 x+\frac{1}{2 !} x^{2}-\frac{1}{3 !} x^{3}+\cdots+(-1)^{n} \frac{1}{n !} x^{n}+\cdots \\ &=1-x+\left[1-x+\frac{1}{2 !} x^{2}-\frac{1}{3 !} x^{3}+\cdots+(-1)^{n} \frac{1}{n !} x^{n}+\cdots\right] \\ &=1-x+\mathrm{e}^{-x} \end{aligned}\)

二级齐次线性微分方程的幂级数解法

定理：如果二阶齐次线性微分方程\(y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\)中的系数 \(P(x)\) 与 \(Q(x)\) 可在 \(-R<x<R\) 内展开为 \(x\)的幂级数, 那么在 - \(R<x<R\) 内此方程必有形如\(y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\)的解。

欧拉公式的证明

考察复数项级数\(1+z+\frac{1}{2 !} z^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} z^{n}+\cdots \quad(z=x+y i)\)， 可以证明这个复数项级数在整个复平面上是收敛的。 我们可以定义整个复平面上的复变量指数函数\(\mathrm{e}^{z}=1+z+\frac{1}{2 !} z^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} z^{n}+\cdots \quad(|z|<\infty)\) 当 \(x=0\) 时, \(z\) 为纯虚数 \(y \mathbf{i},\) 有： \(\begin{aligned} \mathrm{e}^{y_{i}} &=1+y \mathrm{i}+\frac{1}{2 !}(y \mathrm{i})^{2}+\frac{1}{3 !}(y \mathrm{i})^{3}+\cdots+\frac{1}{n !}(y \mathrm{i})^{n}+\cdots \\ &=1+y \mathrm{i}-\frac{1}{2 !} y^{2}-\frac{1}{3 !} y^{3} \mathrm{i}+\frac{1}{4 !} y^{4}+\frac{1}{5 !} y^{5} \mathrm{i}-\cdots \\ &=\left(1-\frac{1}{2 !} y^{2}+\frac{1}{4 !} y^{4}-\cdots\right)+\left(y-\frac{1}{3 !} y^{3}+\frac{1}{5 !} y^{5}-\cdots\right) \mathrm{i} \\ &=\cos y+\mathrm{i} \sin y \end{aligned}\) 把 y 换写为 x,上式变为\(e^{x i}=\cos x+i \sin x\)，称为欧拉公式

函数项级数：三角级数

前面我们讨论了幂级数（以幂函数为项的级数）的概念、性质、函数展开成幂级数的条件与方法、求幂级数的收敛域以及和函数的方法。 类似的，我们想要讨论以三角函数系为各项组成的级数：三角级数\(\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)\)

三角级数的定义

\(A_{1} \sin \left(\omega t+\varphi_{1}\right)+A_{2} \sin \left(2 \omega t+\varphi_{2}\right)+...+A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)+...\) 即：\(\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)\) 习惯上会加个常数：\(A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)\) 通过三角函数的积化和差公式，并取\(2l = \frac{2\pi}{\omega}\)可以变形为：\(\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi t}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi t}{l}\right)\) 再做变量代换\(\frac{\pi t}{l}=x\)得三角级数标准形式：\(\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)\)

设三角级数\(A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)\)收敛于\(f(t)\)，即\(f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)\)。可以看出此三角级数是由一些周期为\(T_n = \frac{2 \pi}{n \omega}\)的正弦函数和常数\(A_0\)的叠加，则\(f(t)\)是一个周期为\(T = \frac{2 \pi}{\omega}\)的周期函数。 类似的，设三角级数\(\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)\)收敛于\(f(x)\)，即\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)\)。可以看出此三角级数是一个周期\(T=2 \pi\)的周期函数。

电工学谐波分析中，对于\(f(t)=A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)\)， 常数项 \(A_0\)称为 \(f(t)\) 的直流分量, \(A_{1} \sin \left(\omega t+\varphi_{1}\right)\) 称为一次谐波（或称基波）， \(A_{2} \sin \left(2 \omega t+\varphi_{2}\right), A_{3} \sin \left(3 \omega t+\varphi_{3}\right), \cdots\) 依次称为二次谐波,三次谐波，等等。

三角函数系的正交性

三角函数系\(1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\)在区间\([ -\pi , \pi ]\) 上正交，是指三角函数系中任意两个函数的乘积在区间\([ -\pi , \pi ]\) 上的积分等于0.

\(\int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \mathrm{d} x=0 \quad(n=1,2,3, \cdots)\) \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin n x \mathrm{d} x=0 \quad(n=1,2,3, \cdots)\) \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin k x \cos n x \mathrm{d} x=0 \quad(k, n=1,2,3, \cdots)\) \(\int_{-\pi}^{\pi} \cos k x \cos n x \mathrm{d} x=0 \quad(k, n=1,2,3, \cdots, k \neq n)\) \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin k x \sin n x \mathrm{d} x=0 \quad(k, n=1,2,3, \cdots, k \neq n)\)

(用奇偶性对称性、三角函数的积化和差公式可证如上几个公式)

而三角函数系中，两个相同函数的乘积在区间 \([ - \pi , \pi ]\) 上的积分不等于0。

\(\int_{-\pi}^{\pi} 1^{2} \mathrm{d} x=2 \pi, \int_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} n x \mathrm{d} x=\pi, \int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} n x \mathrm{d} x=\pi \quad(n=1,2,3, \cdots)\)

\(2\pi\)周期的傅里叶级数

确定三角级数系数的方法

设 \(f(x)\) 是周期为 2 \(\pi\) 的周期函数,且能展开成三角级数\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)\)

利用三角函数系的正交性，如果级数逐项可积， 对原式两边取\([-\pi,\pi]\)的定积分，移项可得\(a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x\)； 原式两边用乘以\(\cos n x\)，然后取取\([-\pi,\pi]\)的定积分，移项可得\(a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots)\) 原式两边用乘以\(\sin n x\)，然后取取\([-\pi,\pi]\)的定积分，移项可得\(b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots)\) 即可定出所有系数\(a_{0}, a_{1}, b_{1}, \cdots\)

\(2\pi\)周期的傅里叶级数定义

如果三角级数\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)\)逐项可积，可以用上面的公式定出所有的系数： \(\left.\begin{array}{ll}a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x & (n=0,1,2,3, \cdots) \\ b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x &(n=1,2,3, \cdots)\end{array}\right\}\) 称三角级数\(\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)\)为\(f(x)\)的傅里叶级数。

函数展成傅里叶级数的充分条件

定理(收敛定理, 狄利克雷( Dirichlet) 充分条件 )设 \(f(x)\) 是周期为 2 \(\pi\) 的周期函数,如果它满足： 1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 2）在一个周期内至多只有有限个极值点， 那么 \(f(x)\) 的傅里叶级数收敛,并且： 当 \(x\) 是 \(f(x)\) 的连续点时,级数收敛于 \(f(x)\); 当 \(x\) 是 \(f(x)\) 的间断点时,级数收敛于 \(\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right] .\)

（即：只要函数在\([ - \pi，\pi ]\)上至多有有限个第一类间断点,并 且不作无限次振动,函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值,在间断点处收敛于该点左极限与右极限的算术平均值. ）

可见,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。

函数的延拓

周期延拓

如果函数 \(f(x)\) 只在 [ - $, ]$ 上有定义,并且满足收敛定理的条外补充函数 \(f(x)\) 的定义,使它拓广成周期为 2 \(\pi\) 的周期函数 F( x). 按这种方式 拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.再将 F( x)展开成傅里叶级数. 最后限制 \(x\) 在( \(-\pi, \pi)\) 内,此时 \(F(x) \equiv f(x),\) 这样便得到 \(f(x)\) 的傅里叶级数展开式. 根 据收剑定理,这级数在区间端点 \(x=\pm \pi\) 处收竣于 \(\frac{f\left(\pi^{-}\right)+f\left(-\pi^{+}\right)}{2}\)

奇延拓或偶延拓

设函数 \(f(x)\)定义在区间\([0, \pi ]\)上并且满足收敛定理的条件, 我们在开区间\(( - \pi ,0 )\) 内补充函数 \(f(x)\) 的定义, 得到定义在\(( - \pi, \pi]\) 上的函数 \(F(x),\) 使它在 \((-\pi, \pi)\) 上成为 奇函数(偶函数). 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)。 然后将奇延拓(偶延拓)后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数余弦级数）. 再限制 \(x\) 在 \((0, \pi]\) 上,此时 \(F(x) \equiv f(x),\) 这样便得到 \(f(x)\) 的正弦级 数(余弦级数)展开式.

正弦级数和余弦级数

些函数的傅里叶级数只含有正弦项，这样的级数称为正弦级数。或者只含有常数项和余弦项，这样的级数称为余弦级数。

当 \(f(x)\) 为奇函数时 \(f(x) \cos n x\) 是奇函数 \(, f(x) \sin n x\) 是偶函数,故: \(\left.\begin{array}{l}a_{n}=0 \quad(n=0,1,2, \cdots) \\ b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots)\end{array}\right\}\) 即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数\(\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x\)

当 \(f(x)\) 为偶函数时 \(, f(x) \cos n x\) 是偶函数 \(, f(x) \sin n x\) 是奇函数,故: \(\left.\begin{array}{l}a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x \quad(n=0,1,2, \cdots), \\ b_{n}=0 \quad(n=1,2,3, \cdots)\end{array}\right\}\) 即知偶函数的傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数\(\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x\)

一般周期的傅里叶级数

\(2\pi\)周期的傅里叶级数可以很容易推广到一般周期（设周期为\(T= 2l\)）：

定理 设周期为 2l 的周期函数 \(f(x)\) 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级 数展开式为\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l}\right)(x \in C)\)，其中： \(\begin{aligned} a_{n} &=\frac{1}{l} \int_{-1}^{1} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{d} x \quad(n=0,1,2, \cdots) \\ b_{n} &=\frac{1}{l} \int_{-1}^{1} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots) \\ C &=\left\{x \mid f(x)=\frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]\right\} \end{aligned}\) 当 \(f(x)\) 为奇函数时，\(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi x}{l} \quad(x \in C)\)，其中\(b_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \mathrm{d} x \quad(n=1,2,3, \cdots)\) 当 \(f(x)\) 为偶函数时，\(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n \pi x}{l}(x \in C)\)，其中\(a_{n}=\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \mathrm{d} x \quad(n=0,1,2, \cdots)\)

傅里叶级数的复数形式

利用欧拉公式的如下形式：\(\cos t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-t_{i}}}{2}, \sin t=\frac{\mathrm{e}^{t\mathrm{i}}-\mathrm{e}^{-t\mathrm{i}}}{2 \mathrm{i}}\) 可将一般一般周期（设周期为\(T= 2l\)）的傅里叶级数华化为更简洁的复数形式：\(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{n \pi x}{l} i}\) 其中\(c_{n}=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{n \pi x}{l} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=0,\pm 1,\pm 2, \cdots)\)

（推导过程详见高数同济第七版（下））

复数项级数

复数项级数定义

\(\left(u_{1}+v_{1} \mathrm{i}\right)+\left(u_{2}+v_{2} \mathrm{i}\right)+\cdots+\left(u_{n}+v_{n} \mathrm{i}\right)+\cdots\)，其中\(u_{n}\) 与 \(v_{n}(n=1,2,3, \cdots)\) 为实常数或实函数，这样的级数称为复数项级数。

复数项级数收敛定义

如果实部所成级数\(u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots\)收敛于和u，虚部所成级数\(v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}+\cdots\)收敛于和v，则称复数项级数\(\left(u_{1}+v_{1} \mathrm{i}\right)+\left(u_{2}+v_{2} \mathrm{i}\right)+\cdots+\left(u_{n}+v_{n} \mathrm{i}\right)+\cdots\)收敛，且其和为\(u+v i\)

复数项级数绝对收敛定义

如果复数项级数各项的模成的级数\(\sqrt{u_{1}^{2}+v_{1}^{2}}+\sqrt{u_{2}^{2}+v_{2}^{2}}+\cdots+\sqrt{u_{n}^{2}+v_{n}^{2}}+\cdots\)收敛，称复数项级数绝对收敛。